[latex]log_2(x+frac{x^2}{2}+frac{x^3}{4}+....._)=log_2frac{3x+1}{2}[/latex]
Po lewej liczba logarytmowana to suma nieskończonego ciągu geometrycznego.
[latex]q=frac{frac{x^2}{2}}{x}= frac{x}{2}[/latex]
[latex]S=frac{a_1}{1-q}= frac{x}{1- frac{x}{2}}=frac{x}{ frac{2-x}{2}}= frac{2x}{2-x}[/latex]
Założenia:
1.
[latex]frac{3x+1}{2}>0 / cdot 2[/latex]
[latex]3x+1>[/latex]
[latex]3x>-1 /:3[/latex]
[latex]x>-frac{1}{3}[/latex]
2.
[latex]|q|<1[/latex]
[latex]left|frac{x}{2}
ight|<1[/latex]
[latex]-10[/latex]
[latex]2x(2-x)>0[/latex]
[latex]xinleft( 0;2
ight)[/latex]
z 1,2,3,4
[latex]xinleft(0;2
ight)[/latex]
================
[latex]log_2(x+frac{x^2}{2}+frac{x^3}{4}+....._)=log_2frac{3x+1}{2}[/latex]
[latex]log_2 frac{2x}{2-x}=log_2frac{3x+1}{2}[/latex]
[latex]frac{2x}{2-x}=frac{3x+1}{2}[/latex]
[latex](3x+1)(2-x)=4x[/latex]
[latex]6x-3x^2+2-x-4x=0[/latex]
[latex]- 3x^2 + x + 2=0 /:(-1)[/latex]
[latex]3x^2-x-2=0[/latex]
[latex]Delta=(-1)^2-4 cdot 3 cdot (-2)=1+24=25[/latex]
[latex]sqrt{Delta}= sqrt{25}=5[/latex]
[latex]x_1= frac{1-5}{6}=- frac{2}{3}
ot inleft(0;2
ight)[/latex]
[latex]x_2= frac{1+5}{6}=1[/latex]
