Zbadaj monotoniczność ciągu o następującym wyrazie ogólnym: [latex] a_{n} =frac{2n}{n^{3} } [/latex]

[latex]a_n= frac{2n}{n^3}= frac{2}{n^2} \\a_{n+1}= frac{2(n+1)}{(n+1)^3}= frac{2}{n^2+2n+1} \\a_{n+1}-a_n= frac{2}{n^2+2n+1}- frac{2}{n^2}= frac{2n^2-2n^2-4n-2}{n^2(n+1)^2}= \\=- frac{2(2n+1)}{n^2(n+1)^2}<0 [/latex] Zauważ, że dla n należącego do zbioru liczb naturalnych, wyrażenie w nawiasie w liczniku jest dodatnie. W mianowniku mamy iloczyn kwadratów dwóch liczb, więc mianownik też jest dodatni. W związku z tym, że przed całym wyrażeniem jest minus, wyrażenie to jest liczbą ujemną. Ciąg jest więc malejący