Oblicz tangens najmniejszego z kątów trójkąta o bokach długości : 2 pod pierwiastkiem 3 , 3, pod pierwiastkiem 17

Uporządkujmy  boki  w szeregu rosnącym: [latex]old {a=3 ; b=2sqrt 3 }approx 3,46 old {c=}approx 4,12[/latex] Niestety trójkąt ten nie jest trójkątem prostokątnym :( i obliczenia nie będą takie szybkie :(( Najmniejszym kątem będzie ten naprzeciw  najkrótszego boku. Skorzystamy z twierdzenia Carnota ( potocznie tw. cosinusów ) mówiące, że w dowolnym trójkącie na płaszczyźnie, kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi. Przyjmując że naprzeciw boku a jest kąt α  równie przyjmuje postać : [latex]a^2= b^2+c^2-2bc cos( alpha)[/latex] Przekształćmy zależność tak, aby uzyskać cos(α)  = ...... [latex] 2bc cos( alpha)= b^2+c^2 -a^2 \\ cos( alpha)= frac{b^2+c^2 -a^2 }{ 2bc }=frac {(2sqrt3)^2+(sqrt {17})^2-(3)^2}{2cdot2sqrt 3cdot sqrt {17} }=frac {12+17-9}{4sqrt 3 sqrt {17}}=frac{20}{4sqrt 3 sqrt {17}}=frac{5}{sqrt 3 sqrt {17}} [/latex] teraz korzystając z "jedynki trygonometrycznej" obliczymy sin(α) [latex]sin^2(alpha) = 1 - cos^2(alpha) = 1- left (frac{5}{sqrt 3 sqrt {17}} ight )^2 = 1- frac{25}{51} = frac {26}{51}[/latex] [latex]sin(alpha) = sqrt frac {26}{51}= frac {sqrt {26}}{sqrt{51}}[/latex] Wiedząc że tangens jest ilorazem sinusa i cosinusa obliczamy tangens [latex]old {tg(alpha) =} frac {sin(alpha)}{cos(alpha)}=frac {frac {sqrt {26}}{sqrt {51}}}{frac{5}{sqrt 3 sqrt {17}}}={frac {sqrt {26}}{sqrt {51}}} cdot {frac{sqrt 3 sqrt {17}}{5}}=old {frac{sqrt {26}}{5}}[/latex] Gdyby  należało podać wartość funkcji tangens najmniejszego kąta w trójkącie prostokątnym - to byłby to iloraz długości najkrótszego i średniego boku.

Oblicz tangens najmniejszego z kątów trójkąta o bokach długości : 2 pod pierwiastkiem 3 , 3, pod pierwiastkiem 17

Oblicz tangens najmniejszego z kątów trójkąta o bokach długości : 2 pod pierwiastkiem 3 , 3, pod pierwiastkiem 17...