Wykaż że liczba 9^8+9^7+9^6+...+9^2+9^1 jest podzielna przez 90. ^ oznacza potęgę

Aby liczba była podzielna przez 90, musi być podzielna jednocześnie przez 9 i przez 10. [latex]a=9^8+9^7+9^6+...+9^2+9^1=9(9^7+9^6+...+9^2+1)[/latex] Z tego wynika, że jest podzielna przez 9. Teraz, zauważmy, że kolejne potęgi liczby 9 mają liczbę jedności 1 (dla potęg parzystych), i 9, dla potęg nieparzystych. [latex]9^1=9\9^2=81\9^3=729\ 9^4=...1\ 9^5=...9\ itd.[/latex], zatem, nawias w powyższym wyrażeniu ma wartość: [latex]...1+...+9+...1+...+...9+...1=...0[/latex] Liczba jedności będzie 0 (bo dla każdej pary wyrażeń mamy 10). Z tego wynika, że liczba a jest podzielna jednocześnie przez 9 i przez 10, czyli jest podzielna przez 90.