a) Sprawdzając po kolei punkty dochodzimy do tego, że punkt B nie należy do prostej: [latex]B(1;4) otin l: y= -frac{3}{4}x +2\ 4 eq -frac{3}{4}cdot 1 +2[/latex] Przekształcamy równanie prostej do postaci ogólnej i wypisujemy sobie od razu dane: [latex]y= -frac{3}{4}x +2 | cdot 4\ 4y=-3x+8\ 3x+4y-8=0\\ A=3\ B=4\ C=-8\ x_0=1 igwedge y_o=4 o (B)[/latex] Liczymy odległość punktu B od podanej prostej: [latex]d= frac{|3cdot1+4cdot4-8|}{ sqrt{3^2+4^2} } =frac{|11|}{ sqrt{25} }= frac{11}{5} =2frac{1}{5}[/latex] Zatem odległość punktu B od prostej l wynosi: [latex]oxed{d=2frac{1}{5}}[/latex] b) Aby policzyć pole, wyznaczymy przykładowo długość boku [latex]|AB|[/latex], prostą przechodzącą przez punkty A i B oraz odległość wierzchołka C od prostej przechodzącej przez te punkty (będzie to wysokość opuszczona na [latex]|AB|[/latex]): [latex]A(-4;5)\ B(1;4)\ C(8;-4)\\ |AB|= sqrt{(1+4)^2+(4-5)^2} = sqrt{25+1} = sqrt{26}\\ y_{AB}: y-5= frac{4-5}{1+4} (x+4)\ y_{AB}: y-5=- frac{1}{5}x - frac{4}{5} | cdot5\ y_{AB}: 5y-25=-x-4\ y_{AB}: x+5y-21=0\\ [/latex] Mamy postać ogólną prostej i mamy współrzędne punktu C. Liczymy zatem wysokość opuszczoną z wierzchołka C na bok AB: [latex]A=1;B=5; C=-21\ C(8;-4)\\ h=d= frac{|Ax_0+By_0+c|}{ sqrt{A^2+B^2} } \ h=frac{|8-20-21|}{ sqrt{26} } = frac{|-33|}{sqrt{26}} = frac{33}{sqrt{26}} [/latex] Pole tego trójkąta wynosi więc: [latex]P_{ABC}= frac{1}{2} cdot |AB| cdot h= frac{1}{2}cdot sqrt{26}cdot frac{33}{sqrt{26}}= frac{33}{2} =16 frac{1}{2} [j^2]\\ oxed{P_{ABC}=16 frac{1}{2} [j^2]}[/latex] *Opcjonalnie (znacznie wygodniej): Aby policzyć pole, wyznaczymy wektory wychodzące z tego samego wierzchołka i policzymy ich wyznacznik: [latex]overrightarrow{AB}=[1+4;4-5]=[5;-1]\ overrightarrow{AC}=[8+4;-4-5]=[12;-9]\\ P_{ABC}= frac{1}{2} cdot | left[egin{array}{ccc}5&-1\12&-9end{array} ight] |= frac{1}{2} cdot|-45+12|= frac{1}{2} cdot|-33|= frac{33}{2} =16 frac{1}{2}[/latex] Zatem: [latex]oxed{P_{ABC}=16 frac{1}{2}[j^2]}[/latex] ///Khan.
