siła sprężystości prowadzi do powstania ruchu harmonicznego - wykazać. wzory, wyjaśnienia, wykrsy

Jeśli rozpatrzymy sobie układ, którego model fizyczny przedstawiony jest na rysunku to wówczas: Masa posiada jakieś położenie x Jeśli x=x0=0 to siła sprężystości jest 0 (bo x0 to położenie równowagi sprężyny), zatem względem tego położenia będziemy rozpatrywać położenie masy. Wychylając masę do położenia x na masę działa siła sprężystości wektorowo równa Fs=-kx (skierowana do położenia równowagi). Jednoczenie na masę działa siła bezwładności działa siła Fb=-ma. Siły te równoważą się, czyli ich suma jest zerowa: Fs+Fb=0 -kx-ma=0 kx+ma=0 ponieważ a to druga pochodna po czasie z położenia x czyli: [latex]a= frac{d^2x}{dt^2} = ddot x [/latex] Dwie kropki na x oznacza drugą pochodną po czasie. Zatem: [latex]kx+mddot x=0\ x+ frac{m}{k}ddot x=0[/latex] Jeśli podstawimy zamiast x: [latex]x=Ae^{itomega}[/latex] gdzie: A - amplituda drgań i - jednostka urojona [latex]i^2=-1[/latex] t - czas ω - częstość kołowa drgań To wówczas licząc pierwszą i drugą pochodną: [latex]v=dot x=Aiomega e^{itomega} \ a=dot v=ddot x=Ai^2omega^2 e^{itomega}=-Aomega^2 e^{itomega}[/latex] Wstawiając x oraz a równania różniczkowego ruchu otrzymujemy: [latex]Ae^{itomega}- frac{m}{k}omega^2 Ae^{itomega}=0 \ Ae^{itomega}(1- frac{m}{k}omega^2)=0\ 1- frac{m}{k}omega^2=0\ frac{m}{k}omega^2=1\ omega= pm sqrt{frac{k}{m}}[/latex] Ostatni wzór to wzór na częstość kołową drgań. Wracając do podstawienia x: [latex]x=Ae^{itomega}=Acos(omega t)+Aisin(omega t) \ x=Acos(omega t+phi)[/latex] Część urojona znika, zamiast niej pojawia się przesunięcie fazowe. Czyli otrzymaliśmy wzór na ruch harmoniczny.