Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność: a) a^2 » 4b(a-b) b) a(10b-7a) « 2(b-a)(b+a)+3b « » jako większy lub równy i mniejszy lub równy

[latex]a)\ a^2geq4b(a-b)\ a^2geq4ab-4b^2\ a^2-4ab+4b^2geq0\ (a-2b)^2geq0 \ [/latex] Kwadrat różnicy dwóch liczb zawsze jest większy od zera (przy założeniu, że a, b są różne od 0). [latex]b) a(10b-7a)leq2(b-a)(b+a)+3b^2\ 10ab-7a^2leq2(b^2-a^2)+3b^2\ 10ab-7a^2leq2b^2-2a^2+3b^2\ 10ab-7a^2-2b^2+2a^2-3b^2leq0\ -5a^2+10ab-5b^2leq0\ -5(a^2-2ab+b^2)leq0\ -5(a-b)^2leq0\ [/latex] Jak widać, po lewej stronie ZAWSZE będzie liczba ujemna, więc nierówność jest prawdziwa dla każdej pary liczb a,b należących do R