Udowodnij, że jeżeli liczba p dzieli się przez 7, a liczby x,y są dowolnymi liczbami pierwszymi większymi od 11 to wyrażenie: [latex]NWD(p,x)cdot NWW(x,p)+NWD(p;y)cdot NWW(y,p)[/latex] jest podzielne przez 7.

W dowodzie wykorzystam znany fakt, mianowicie  [latex]NWD(a,b),cdot,NWW(a,b)=a,cdot,b[/latex] Korzystając z powyższego dostajemy, że wyrażenie  [latex]NWD(p,x),cdot,NWW(x,p)+NWD(p,y),cdot,NWW(y,p)[/latex] jest równe   [latex]p,cdot,x+p,cdot,y=p(x+y)[/latex] Stąd wyrażenie to jest podzielne przez [latex]p[/latex] a zatem także przez każdy dzielnik [latex]p[/latex], w szczególności przez 7.