W załączeniu,proszę o rozpisanie.

Zadanie 1 Zderzenie jest sprężyste więc możemy napisać dwa równania. Jedno wynikające z zasady zachowania pędu, drugie z zasady zachowania energii: [latex]p_p=2mv-mv\ p_k=mv_{k1}-2mv_{k2}\\ E_p= frac{mv^2}{2}+frac{4mv^2}{2} \ E_k= frac{mv_{k1}^2}{2}+frac{4mv_{k2}^2}{2} \\ p_p=p_k\ mv=mv_{k1}-2mv_{k2}\ v=v_{k1}-2v_{k2}\\ E_p=E_k\ frac{mv^2}{2}+frac{4mv^2}{2} =frac{mv_{k1}^2}{2}+frac{4mv_{k2}^2}{2} \ 5v^2=v_{k1}^2+4v_{k2}^2[/latex] Połączmy te dwa równania: [latex]v=v_{k1}-2v_{k2}implies v_{k1}=v+2v_{k2}\\ 5v^2=(v+2v_{k2})^2+4v_{k2}^2\ 5v^2=v^2+4vv_{k2}+4v_{k2}^2+4v_{k2}^2\ 0=8v_{k2}^2+4vv_{k2}-4v^2\ 0=2v_{k2}^2+vv_{k2}-v^2\ Delta=v^2-4(2)(-v^2)=v^2+8v^2=9v^2\ sqrt{Delta}=3v\\ v_{k2}= frac{-v-3v}{4}=-v vee v_{k2}= frac{-v+3v}{4}= frac{1}{2}v \ sprzecznosc bo v>0 v_{k1}= 2v [/latex] Drugie ciało - to lżejsze zachowa całą swoją energię kinetyczną. (u mnie oznaczenie jest odwrotne i indeksy tego ciała są jedynkami) Zadanie 2 Najpierw policzmy jaką pracę należy wykonać aby zatrzymać tarczę. Ta praca jest równa całkowitej energii kinetycznej ruchu obrotowego tarczy oraz kulki: [latex]W=E_k= frac{ frac{1}{2}mR^2 omega_0^2}{2} + frac{ frac{m}{2}R^2omega_0^2 }{2}\\ W= frac{1}{2}mR^2omega_0^2 [/latex] Praca to iloczyn siły i przebytej drogi: [latex]W=Fs[/latex] Opóźnienie jakie musimy nadać tarczy można policzyć, ze wzoru: [latex]v(t)=v_o-at=0\ a= frac{v_0}{t} [/latex] Natomiast drogę w ruchu jednostajnie opóźnionym liczymy ze wzoru: [latex]s(t)= v_ot- frac{at^2}{2} [/latex] Przy czym znamy zależność pomiędzy prędkością kątową a prędkością liniową: [latex]v_0=omega_0 R[/latex] Zatem, łącząc te wszystkie zależności otrzymujemy: [latex]W=Fcdot ( v_ot- frac{(frac{v_0}{t})t^2}{2})=Fcdot ( v_ot- frac{{v_0}t}{2})=Fcdot frac{v_0t}{2} =Fcdot frac{omega_0 Rt}{2} \ [/latex] Podstawiamy pod W wcześniej wyliczoną pracę potrzebną do zatrzymania tarczy: [latex] frac{1}{2}mR^2omega_0^2=Fcdot frac{omega_0 Rt}{2} \ mRomega_0=Fcdot {t} \\ oxed{F= frac{mRomega_0}{t} }[/latex] Zadanie 3 Układamy równania ruchu obrotowego i postępowego dla kuli: [latex]egin{cases}ma=mgsin alpha-T\TR= frac{2}{5}mR^2cdot varepsilon \a=varepsilon R end{cases}\[/latex] Chcemy się dowiedzieć ile wynosi przyśpieszenie kuli: [latex]egin{cases}ma=mgsin alpha-T\T= frac{2}{5}mRcdot varepsilon \a=varepsilon Rimplies varepsilon= frac{a}{R} end{cases}\ egin{cases}ma=mgsin alpha-T\T= frac{2}{5}ma end{cases}\ egin{cases}ma=mgsin alpha-frac{2}{5}ma\T= frac{2}{5}ma end{cases}\ egin{cases} frac{7}{5} a=gsin alphaimplies a= frac{5}{7}gsin alpha \T= frac{2}{5}ma end{cases}\ [/latex] Ze wzoru na przebytą drogę policzymy czas jaki się staczała: [latex]s= frac{at^2}{2}\ t= sqrt{ frac{2s}{a} }= sqrt{ frac{2cdot frac{H}{sin alpha } }{frac{5}{7}gsin alpha} }=oxed{ sqrt{ frac{14H}{5gsin^2 alpha } } }[/latex] Jej prędkość kątową możemy policzyć z zasady zachowania energii. Początkowa energia potencjalna zamieni się na energię kinetyczną ruchu postępowego i obrotowego: [latex]mgH= frac{mv^2}{2}+ frac{ frac{2}{5}mR^2cdot frac{v^2}{R^2} }{2} \ gH= frac{v^2}{2}+ frac{ frac{2}{5}cdot {v^2} }{2} \ 2gH= frac{7}{5}v^2\ v= sqrt{ frac{10gH}{7} } \\ oxed{omega= frac{sqrt{ frac{10gH}{7} }}{r} }[/latex] Energia kinetyczna ruchu obrotowego stanowi [latex]oxed{ frac{2}{7} }[/latex] całkowitej energii kinetycznej. Zadanie 4 [latex]x(t)=0,5sin( frac{ pi }{6}t+ frac{ pi }{4} )\ A=0,5\ omega = frac{ pi }{6} \ phi= frac{ pi }{4} [/latex] Energia całkowita: [latex]E_c= frac{1}{2}momega^2A^2= frac{1}{2}cdot 0,001cdot frac{ pi ^2}{36} cdot 0,25approx34,3mu J[/latex] Prędkość w położeniu równowagi: [latex]v(t)=Aomega cos(omega t +phi)\ dla polozenia rownowagi\ v(t_0)=Aomega=0,5cdot frac{ pi }{6}= frac{ pi }{12}cdot frac{m}{s} [/latex] Musimy też się dowiedzieć kiedy energia potencjalna sprężystości będzie trzykrotnie większa od energii kinetycznej. Wiemy, że w sumie dają one całkowitą energię układu zatem: [latex]E_p+E_k=E_c\ 3E_k+E_k=E_c\ 4E_k=E_c\ 4cdot frac{1}{2}momega^2A^2sin^2(omega t+phi)= frac{1}{2}momega^2A^2\ sin^2(omega t+phi)= frac{1}{4}\ {sin(omega t +phi)= frac{1}{2}} vee sin(omega t+phi)=- frac{1}{2} \ frac{ pi }{6}t+ frac{ pi }{4}= frac{ pi }{6} frac{ pi }{6}t+ frac{ pi }{4}= frac{ 5pi }{6} \\ t=- frac{1}{2}s oxed{ t= frac{7}{2} s}[/latex] Energia całkowita początkowa to jak już napisałem: [latex]E_c=frac{1}{2}momega^2A^2[/latex] Po jednym okresie amplituda zmaleje o 10%, a zatem tracone jest: [latex]Q=frac{1}{2}momega^2( frac{1}{10}A )^2=frac{1}{100}cdot frac{1}{2}momega^2 A ^2[/latex] Czyli jeden procent energii mechanicznej.