Będziesz się musiała mocno skupić, żeby się nie pogubić w tych wszystkich wyliczeniach. Bierzemy na warsztat wyjściowe równanie: [latex]E_n= frac{mV^2}{2}-k frac{e^2}{R} [/latex] Najpierw przyjrzyjmy się pierwszemu składnikowi: [latex] frac{mV^2}{2}[/latex] Nie znamy V. Możemy albo wyprowadzić sobie tę wartość z postulatów Bohra i klasycznych zasad dynamiki, albo po prostu przyjąć, że już kiedyś sobie to wyprowadziliśmy i doskonale wiemy, że prędkość elektronu na orbicie wynosi: [latex]V= frac{nh}{2 pi mr} [/latex] Po podniesieniu do kwadratu: [latex]V= frac{n^2h^2}{4 pi^2 m^2r^2} [/latex] Czyli cała energia kinetyczna jest równa: [latex] frac{m}{2}cdot frac{n^2h^2}{4 pi^2 m^2r^2}[/latex] W tym wzorze nie znany jest jeszcze promień atomu r. Znów, albo przeprowadzamy na szybko dowód ile jest równy, albo przyjmujemy, że jest to powszechną prawdą, że promień orbity elektronu w atomie wodoru wynosi: [latex]r= frac{n^2h^2}{4 pi ^2mke^2} [/latex] Podnosimy go do kwadratu: [latex]r^2= frac{n^4h^4}{16 pi ^4m^2k^2e^4} [/latex] Bierzemy jego odwrotność: [latex] frac{1}{r^2} = frac{16 pi ^4m^2k^2e^4}{n^4h^4} [/latex] Podstawiamy do wzoru na energię kinetyczną: [latex] frac{m}{2}cdot frac{n^2h^2}{4 pi^2 m^2}cdot frac{16 pi ^4m^2k^2e^4}{n^4h^4}[/latex] Jeszcze pod stałą k możemy podstawić [latex]k= frac{1}{4 pi varepsilon} [/latex], a po podniesieniu do kwadratu: [latex]k^2= frac{1}{16 pi ^2varepsilon^2} [/latex] [latex] frac{m}{2}cdot frac{n^2h^2}{4 pi^2 m^2}cdot frac{16 pi ^4m^2e^4}{n^4h^4}cdot frac{1}{16 pi ^2varepsilon^2} [/latex] Teraz upraszczamy co się tylko da: [latex] frac{1}{2}cdot frac{1}{4}cdot frac{me^4}{n^2h^2}cdot frac{1}{ varepsilon^2}=oxed{ frac{me^4}{8n^2h^2varepsilon^2} }[/latex] Teraz druga część. Energia potencjalna. [latex]k frac{e^2}{R} [/latex] Znów podstawiamy [latex]k= frac{1}{4 pi varepsilon} [/latex] oraz [latex]r= frac{n^2h^2}{4 pi^2 mke^2} [/latex] [latex]e^2cdot frac{1}{4 pi varepsilon}cdot frac{4 pi^2 me^2}{n^2h^2}cdot frac{1}{4 pi varepsilon}[/latex] Upraszczamy: [latex]frac{1}{ varepsilon}cdot frac{me^4}{n^2h^2}cdot frac{1}{4 varepsilon} = oxed{frac{me^4}{4n^2h^2varepsilon^2}}[/latex] Uff... Teraz podstawiamy pod wzór na całkowitą energię obie uzyskane wartości: [latex] frac{me^4}{8n^2h^2varepsilon^2}-frac{me^4}{4n^2h^2varepsilon^2} =oxed{- frac{me^2}{8varepsilon^2h^2n^2} }[/latex] Zgadza się idealnie. Nie pozostało nic innego jak podstawić wartości: [latex]-frac{me^4}{8varepsilon^2h^2n^2} \ \ h=6,63cdot 10^{-34} Js\ varepsilon=8,85cdot 10^{-12} frac{C}{Vm} \e=1,6cdot 10^{-19}C\ m=9,1cdot 10^{-31} kg\\\ -frac{9,1cdot 10^{-31}cdot (1,6)^4cdot 10^{-76}}{8(8,85)^2cdot 10^{-24}(6,63)^2cdot 10^{-68}}cdot frac{1}{n^2} =-0,013511cdot 10^{3} eVapprox13,5 eV[/latex] Drobna rozbieżność wynika z zaokrąglenia stałej planka, przenikalności elektrycznej próżni, masy elektronu i ładunku elektronu.
