TAK istnieją i to bardzo dużo. Są to wszystkie ciągi stałe. Wtedy wyrazy mogą być dowolne np. [latex]5,5,5[/latex] Jest to ciąg arytmetyczny ponieważ: [latex]5+5=2cdot5\ 10=10[/latex] Jest to też ciąg geometryczny, ponieważ: [latex]5cdot 5=5^2\ 25=25[/latex] To właściwie koniec dowodu. Jak łatwo zauważyć różnicą ciągu arytmetycznego jest liczba 0, a ilorazem ciągu geometrycznego jest liczba 1. Ponadto udowodnimy, że jeśli ciąg jest jednocześnie arytmetyczny i geometryczny to jest on stały. [latex](x,y,z)[/latex] to nasze liczby. Skoro mają być ciągiem arytmetycznym to spełniają zależność: [latex]2y=x+z[/latex] A jako ciąg geometryczny spełnią zależność: [latex]y^2=xz[/latex] Rozwiązujemy układ równań: [latex]egin{cases}y^2=xz\2y=x+zimplies x=(2y-z)end{cases}\ \ y^2=(2y-z)z\ y^2=2yz-z^2\ y^2-2yz+z^2=0\ (y-z)^2=0\ y=z\\ x=2y-z=2y-y=y\\ x=y=z[/latex] Wniosek ciąg jest arytmetyczny i geometryczny jednocześnie wtedy i tylko wtedy gdy jest stały.
