W rozwiązaniu zaprezentujemy dwa sposoby obliczenia wartości oporu. Pierwszy - z wykorzystaniem metody potencjałów węzłowych, drugi sposób wykorzystujący wyłącznie prawa Ohma i Kirchhoffa. SPOSÓB 1. Stosujemy metodę potencjałów węzłowych by obliczyć wartość prądu [latex]I_3[/latex]. Dolny węzeł traktujemy jako uziemiony i wyliczamy potencjał górnego węzła obwodu dla klucza rozwartego [latex]V_1[/latex] i zwartego [latex]V_{1z}[/latex]: [latex]V_1cdot(frac{1}{R_1+R_2}+frac{1}{R_3}+frac{1}{R_4})=frac{E_1+E_2}{R_1+R_2}[/latex] [latex]V_{1z}cdot(frac{1}{R_2}+frac{1}{R_3}+frac{1}{R_4})=frac{E_2}{R_2}[/latex] Wartość prądu [latex]I_3[/latex] równa jest ilorazowi potencjału górnego węzła i rezystancji [latex]R_3[/latex]: [latex]I_3=frac{V_1}{R_3}[/latex] Chcemy aby prąd był taki sam przy kluczu otwartym i zwartym: [latex]frac{V_1}{R_3}=frac{V_{1z}}{R_3}[/latex] Oznacza to że potencjały liczone w obu pozycjach klucza muszą być sobie równe: [latex]V_1=V_{1z}[/latex] Podstawiamy wartości i upraszczamy równania: [latex]V_1cdot(frac{1}{3+R_2}+frac{1}{3}+frac{1}{6})=frac{4}{3+R_2}[/latex] [latex]V_{1z}cdot(frac{1}{R_2}+frac{1}{3}+frac{1}{6})=frac{2}{R_2}[/latex] [latex]V_1cdot(frac{1}{3+R_2}+frac{2+1}{6})=frac{4}{3+R_2}[/latex] [latex]V_{1z}cdot(frac{1}{R_2}+frac{2+1}{6})=frac{2}{R_2}[/latex] [latex]V_1cdot(frac{1}{3+R_2}+frac{1}{2})=frac{4}{3+R_2}[/latex] [latex]V_{1z}cdot(frac{1}{R_2}+frac{1}{2})=frac{2}{R_2}[/latex] [latex]V_1cdot(frac{2+3+R_2}{2cdot(3+R_2)})=frac{4}{3+R_2} Big|cdot (3+R_2)[/latex] [latex]V_{1z}cdot(frac{2+R_2}{2R_2})=frac{2}{R_2} Big|cdot R_2[/latex] [latex]V_1frac{5+R_2}{2}=4 Big|cdot 2[/latex] [latex]V_{1z}frac{2+R_2}{2}=2 Big|cdot 2[/latex] Doprowadziliśmy równania opisujące wartość potencjału węzła w obu pozycjach klucza do możliwie najprostszej postaci: [latex]V_1=frac{8}{5+R_2}[/latex] [latex]V_{1z}=frac{4}{2+R_2}[/latex] Wartości te muszą być dla obu pozycji równe - przyrównujemy i wyliczamy wartość szukanego oporu: [latex]frac{8}{5+R_2}=frac{4}{2+R_2} Big|cdot (5+R_2)(2+R_2)[/latex] [latex]8(2+R_2)=4(5+R_2)[/latex] [latex]16+8R_2=20+4R_2[/latex] [latex]4R_2=4[/latex] [latex]R_2=oxed{1[Omega]}[/latex] Odpowiedź: Rezystor powinien mieć wartość 1 om. SPOSÓB 2. Wyliczmy opór zastępczy równoległego połączenia oporników 3 i 4 - przyda się nam do wyznaczenia wartości prądu w obwodzie. [latex]R_{Z3/4}=frac{R_3R_4}{R_3+R_4}=frac{3Omegacdot 6Omega}{3Omega + 6Omega}=frac{18}{9}Omega=2Omega[/latex] Prąd [latex]I_3[/latex] jest równy napięciu panującemu na oporach 3 i 4 podzielonemu przez wartość oporu [latex]R_3[/latex]. Z kolei napięcie na oporach 3 i 4 równe jest iloczynowi prądu płynącego przez obwód i oporu zastępczego [latex]R_{Z3/4}[/latex]. Zapiszmy to w postaci równania: [latex]I_3=Ifrac{R_{Z3/4}}{R_3}[/latex] (RÓWNANIE*) Prąd [latex]I_3[/latex] jaki płynie przy zwartym kluczu może zostać wyliczony analogicznie, przyjmując [latex]I_Z[/latex] jako prąd który płynie w obwodzie przy zwartym kluczu: [latex]I_{3Z}=I_Zfrac{R_{Z3/4}}{R_3}[/latex] (RÓWNANIE **) Obliczmy teraz wartości prądu głównego płynącego przez gałąź ze źródłem [latex]E_2[/latex] przy otwartym i zamkniętym kluczu: [latex]I=frac{E_1+E_2}{R_1+R_2+R_{Z3/4}}[/latex] [latex]I_Z=frac{E_2}{R_2+R_{Z3/4}}[/latex] Chcemy aby wartości obu prądów były równe: [latex]I_3=I_{3Z}[/latex] Wykorzystując wyznaczone wartości [latex]I, I_Z[/latex] oraz powyższe równania (*) i (**), możemy zapisać: [latex]frac{E_1+E_2}{R_1+R_2+R_{Z3/4}}cdot frac{R_{Z3/4}}{R_3}=frac{E_2}{R_2+R_{Z3/4}}cdot frac{R_{Z3/4}}{R_3} Big|:Big(frac{R_{Z3/4}}{R_3}Big)[/latex] Dalsza część zadania sprowadza się do rozwiązania prostego równania. Dla czytelności pomijamy zapisywanie jednostek przy przekształceniach: [latex]frac{2+2}{3+R_2+2}=frac{2}{R_2+2}[/latex] [latex]frac{4}{R_2+5}=frac{2}{R_2+2} Big|cdot (R_2+5)(R_2+2)[/latex] [latex]4(R_2+2)=2(R_2+5)[/latex] [latex]4R_2+8=2R_2+10[/latex] [latex]2R_2=2[/latex] [latex]R_2=1[Omega][/latex] Jak widać oba sposoby prowadzą do poprawnego wyniku - [latex]R_2=oxed{1[Omega]}[/latex] W razie wątpliwości prośba o komentarz.
