Uzasadnij, że zbiorem wartości funkcji f(x)=12x^2/9x^4+4 jest przedział <0,1>

Wyznaczę funkcję odwrotną: [latex]y= dfrac{12x^2}{9x^4+4} qquad /cdot (9x^4+4) \ \ y(9x^4+4)=12x^2 \ \ 9x^4y+4y=12x^2 \ \ 9yx^4 - 12x^2 + 4y=0 \ \ hbox{niech} t=x^2 \ \ 9yt^2-12t+4y=0 \ \ Delta = 144-144y^2=144(1-y^2) \ \ sqrt{Delta}=12sqrt{1-y^2}[/latex] [latex]t_1 = dfrac{12+12sqrt{1-y^2}}{18y} = dfrac{2+2sqrt{1-y^2}}{3y} \ \ t_2=dfrac{2-2sqrt{1-y^2}}{3y} [/latex] Oczywiście przyjmujemy że y nierówny jest 0 bo wówczas nie mielibyśmy równania kwadratowego.  Dla y=0  x wynosi 0, więc należy do zbioru wartości.  Wyznaczając natomiast równania x1 ^2 = t1  oraz  x2^2 = t2  dochodzimy do ostatecznych wartości x: [latex] x_1 = pm sqrt{ dfrac{2-2sqrt{1-y^2}}{3y}} \ \ x_2 = pm sqrt{ dfrac{2+2sqrt{1-y^2}}{3y}}[/latex] Wyznaczam dziedzinę na y. Pierw wyrażenie podpierwiastkowego: [latex]1-y^2 ge0 \ \ (1-y)(1+y) ge 0 \ \ x in langle -1, 1 angle[/latex] Oczywiście x2  dla tych wartości <-1,1>   istnieje zawsze bo jest tam znak plus, więc pierwiastek będzie z liczby dodatniej.  Biorę pod lupę x1:  [latex]dfrac{2-2sqrt{1-y^2}}{3y} ge 0 \ \ 3y(2-2sqrt{1-y^2}) ge 0 \ \ hbox{Dla} 0< yle1 hbox{mam:} \ \ 2-2sqrt{1-y^2} ge 0 \ \ 2sqrt{1-y^2} le 2 qquad /:2 \ \ sqrt{1-y^2} le 1 qquad /(...)^2 \ \ 1-y^2 le 1 \ \ y^2 ge 0 \ \ hbox{Jest to prawda wiec otrzymuje} y in (0,1 angle[/latex] [latex]hbox{teraz dla} -1 le y < 0 : \ \ 2-2sqrt{1-y^2} le 0 \ \ 2sqrt{1-y^2}ge 2 qquad /:2 \ \ sqrt{1-y^2} ge 1 \ \ 1-y^2 ge 1 \ \ -y^2 ge 0 qquad /cdot (-1) \ \ y^2 le 0 \ \ hbox{W tym przedziale jest to nieprawda, wiec zbior pusty}[/latex] Poprzednio wspomniałem, że y=0 należy do zbioru wartości plus przedział (0,1>  więc dziedziną nałożoną na y a więc ZBIOREM WARTOŚCI funkcji jest [latex]Z_w : yin langle 0,1 angle[/latex]  Co należało udowodnić≥