Ciągi geometryczne 4 zadania (daje naj dużo pkt!)

5.66 Z treści zadania: x+y+z = 7, gdzie x,y i z to szukane liczby Jeśli są to trzy kolejne wyrazy ciągu to największa z nich to x ponieważ jest to ciąg malejący. Z tego wynika, że x= [latex] frac{4}{3} * (y+z)[/latex] Na koniec z własności ciągów wiemy, że kwadrat wyrazu środkowego to iloczyn sąsiednich, zatem: [latex] y^{2} = x * z[/latex] Na początku wyznaczamy wzór na poszczególne wyrazy ciągu: x=x y=x*q z=x*[latex] q^{2} [/latex] [latex] left {{{x+xq+xq^{2} = 7} atop {x= frac{4}{3} *(xq + x q^{2}) }} ight. [/latex] [latex] frac{3}{4}x = x(q + q^{2})[/latex] [latex] frac{3}{4} = q + q^{2}[/latex] [latex] q^{2} + q - frac{3}{4} = 0[/latex] Δ = [latex] b^{2} - 4ac[/latex] Δ = [latex]1 + frac{12}{4} [/latex] = 4 [latex] sqrt{Δ} [/latex] = 2 [latex] q_{1} = frac{-b- sqrt{Δ} }{2a} = frac{-1-2}{2} = -frac{3}{2} [/latex] [latex] q_{2} = frac{-b+ sqrt{Δ} }{2a} = frac{-1+2}{2} = frac{1}{2} [/latex] Wynik będzie taki sam bez względu na to, które q wybierzemy. Ja zdecyduje się na [latex] q_{2} [/latex] x + x*[latex] frac{1}{2} [/latex] + x * [latex] frac{1}{4} [/latex] = 7 [latex] frac{7x}{4} [/latex] = 7 //*4 7x = 28 //:7 x=4 y= 4 * [latex] frac{1}{2} [/latex] = 2 z = [latex]2* frac{1}{2} [/latex] = 1 [latex] y^{2} = xz[/latex] 4= 4*1 4=4 x=4 y=2 z=1 Wszystko się zgadza. 5.67 a) x-3, 2x, 5x+18 Własność z poprzedniego zadania: [latex] (2x)^{2} = (x-3)(5x+18)[/latex] [latex]4 x^{2} = 5 x^{2} + 3x - 54[/latex] [latex] x^{2} + 3x - 54 = 0[/latex] Δ= 9 + 216 = 225 √Δ = 15 [latex] x_{1} = frac{-3-15}{2} = -9[/latex] [latex] x_{2} = frac{-3+15}{2} = 6 [/latex] b) Rozważamy zatem dwa rozwiązania: Pierwsza dla -9 -12, -18, -27 q = [latex] frac{18}{12} = frac{3}{2} [/latex] [latex] a_{7} = -12[/latex] [latex] a_{7} = a_{1} * q^{6} [/latex] -12 = [latex] a^{1} [/latex] * [latex] frac{729}{64} [/latex]≡ [latex] a^{1} = -12 * frac{64}{729} [/latex] [latex] a_{1} = - frac{768}{729} = - frac{256}{243} [/latex] Druga dla 6 3, 12, 48 q=[latex] frac{12}{3} = 4[/latex] [latex] a_{7} = 3[/latex] [latex] a_{7} = a_{1} * q^{6} [/latex] 3 = [latex] a^{1} [/latex] * 4096 [latex] a_{1} = frac{3}{4096} [/latex] 5.68 [latex] a_{1} =2[/latex] [latex] S_{8} = 5*S_{4}[/latex] [latex] S_{n} = frac{ a_{1}(1-q^{n})}{1-q} [/latex] [latex] frac{ 2(1-q^{8})}{1-q} = 5* frac{ 2(1-q^{4})}{1-q}  //*  frac{1-q}{2} q[/latex] 1 - [latex] q^{8} [/latex] = 5 * [latex](1- q^{4} )[/latex] - [latex] q^{8} [/latex] + 5 [latex] q^{4} [/latex] - 4 = 0 Niech t= [latex] q^{4} [/latex] -[latex] t^{2} + 5t - 4 = 0[/latex] Jak to przeliczysz wyjdzie ci, że t=4 q=[latex] sqrt[4]{4} [/latex] q=[latex] sqrt{2} [/latex] [latex] x_{9} = 2 * sqrt{2}^{8} = 2 * 16 = 32[/latex] 5.69 [latex] a_{3} - a_{2} = 5*(a_{2} - a_{1})[/latex] [latex] a_{1} + a_{2} + a_{3} = 62[/latex] [latex] a_{1}*q^{2} - a_{1} * q = 5*(a_{1} * q - a_{1}) //:a_{1}[/latex] [latex] q^{2} - q = 5q - 5[/latex] [latex] q^{2} - 5q + 5 = 0[/latex] Δ=16 √Δ = 4 q=1 lub q=5 [latex] a_{1} + a_{1} * q + a_{1} q^{2} = 62[/latex] Dla q=1 [latex] 3a_{1} = 62[/latex] [latex] a_{1} = [latex] frac{62}{3} [/latex][/latex] dla q=5 [latex] a_{1} = [latex] frac{62}{35} [/latex][/latex] [latex] a_{1} = 2[/latex] Zatem ten ciąg to: [latex]a_{1} = 2; a_{2} = 10; a_{3} = 50[/latex] lub 50-10=5*(10-2) 40=40 Wszystko się zgadza. PS. Za ewentualne literówki przepraszam, pora późna(bądź wczesna zależy jak na to patrzeć).