1.a)a7=2*7-3=14-3=11 b11=11^2-4=121-4=117 c20=n^2=400 b)I.an: 2n-3=-1 2n=2 n=1 - OK 2n-3=0 2n=3 n=3/2 - sprzeczne, n jest liczbą naturalną 2n-3=7 2n=10 n=5 - OK 2n-3=9 2n=12 n=6 - OK Zatem -1,7 i 9 są wyrazami ciągu an. II.bn n^2-4=-1 n^2-3=0 - dalej nie ma sensu liczyć, bo nie dostaniemy liczby naturalnej. n^2-4=0 (n-2)(n+2)=0 n=2 v n=-2 //odrzucamy -2, bo n musi być liczbą naturalną n^2-4=7 n^2-11=0 //odrzucamy na tej samej podstawie co 1 n^2-4=9 n^2-13=0 //odrzucamy Zatem 0 jest wyrazem ciągu bn. III.cn Odrzucamy -1, bo n^2 jest zawsze liczbą większą od 0, 0, bo n nie może być równe 0 i 7, bo pierwiastek z 7 nie jest liczbą naturalną. Zostaje tylko 9 i ono jest wyrazem ciągu, bo dla n=3 3^2=9 Zatem wyrazem ciągu cn jest liczba 9. 2.a)2n-5<0 2n<5 n<2,5 - uwzględniając, że n>0 i n jest liczbą naturalną, otrzymujemy zbiór {1;2}. b)n^2-5<0 (n-sqrt(5))(n+sqrt(5))<0 n=sqrt(5) v n=-sqrt(5) Rozwiązanie nierówności to zbiór (-sqrt(5),sqrt(5)), ale uwzględniając, że n to liczba naturalna, to otrzymujemy zbiór {1;2}. c)cn=2n+5 2n+5<0 2n<-5 n<-2,5 - ciąg nie ma wyrazów ujemnych. 3.a)an=2n-5 2n-5=0 n=5/2 => ciąg nie ma wyrazu równego 0. 2n-5<0 2n<5 n<5/2 dla n należącego do {1;2} ciąg ma ujemne wyrazy. Dla wyrazów {3;4;5;...} ciąg ma dodatnie wyrazy. b)an=n^2-5n=n(n-5) n(n-5)=0 n=0 v n=5 //odrzucamy n=0 Zatem 5 wyraz ciągu jest równy 0. n(n-5)<0 dla n należącego do zbioru {1;2;3;4} ciąg przyjmuje wartości ujemne. Dla n należącego do {6;7;8;...} ciąg przyjmuje wartości dodatnie. c)an=n^2+n-6 n^2+n-6=0 delta=25 pierwiastek z delty = 5 n1=(-1-5)/2=-3 n2=(-1+5)/2 //odrzucamy -3, bo jest mniejsze od 0. Zatem 2 wyraz ciągu jest równy 0. n^2+n-6<0 dla n równego {1} mamy ujemny wyraz ciągu. Dla n należącego do {3;4;5;...} mamy dodatnie wyrazy ciągu. 4.a)an=3n-6 3n-6=0 3n=6 n=2 b)(n^2-1)(n^2-2)=0 Drugiego nawiasu nie ma sensu rozpisywać, bo nie dostaniemy tam pierwiastków będących liczbami naturalnymi. (n-1)(n+1)(n^2-2)=0 Zatem n=1 v n=-1 //-1 odrzucamy, bo n musi być naturalne. Zatem pierwszy wyraz ciągu jest równy 0. c)an=n(n^2+1)(n^2-4) n(n^2+1)(n-2)(n+2)=0 n=0 v n=2 v n=-2 //odrzucamy -2 i 0, bo n musi być naturalne. Zatem drugi wyraz ciągu jest równy 0. 5.(1,2,3...) r=3-2=1 2-1=1 - jest to ciąg arytmetyczny,r=1 2/1=2 3/2=3/2 3/2 =/= 2 - nie jest to ciąg geometryczny. (0;2;3) 3-2=1 2-0=2 2=/=1 Nie jest to ani ciąg arytmetyczny ani geometryczny. (1,2,4) 4-2=2 2-1=1 - nie jest to ciąg arytmetyczny 4/2=2 2/1=2 - jest to ciąg geometryczny.,q=2 (1/2;1/4;1/8) 1/8-1/4=-1/8 1/4-1/2=-1/4 =/= -1/8 - nie jest to ciąg arytmetyczny. 1/8 / 1/4 = 1/2 1/4 / 1/2 = 1/2 - jest to ciąg geometryczny,q=1/2 (2;2;2...) 2-2=0 - jest to ciąg arytmetyczny,r=0 2/2=1 - jest to ciąg geometryczny,q=1 (2;2/3;1/9) 2/3-2=-4/3 1/9-2/3=-5/9 =/= -4/3 - nie jest to ciąg arytmetyczny 2/3 / 2=1/3 1/9 / 2/3 = 1/6 =/= 1/3 - nie jest to ciąg geometryczny.
