Ciągi - dwa zadania do rozwiązania w załączniku ;)

17.  Dany jest w zadaniu ciąg [latex](a_1,a_2,a_3,a_4,...,a_{10})[/latex] Gdzie: [latex]egin{cases} a_1 cdot a_{10}=7 \ a_5+a_6=8 end{cases} \ \ hbox{Uzalezniam wszystko od a1 i r:} \ \ a_{10}=a_1+9r \ a_5=a_1+4r \ a_6=a_1+5r \ \ hbox{I podstawiam do ukl. rownan:}[/latex] [latex]egin{cases} a_1(a_1+9r)=7 \ a_1+4r+a_1+5r=8 end{cases} \ \ egin{cases}a_1^2 + 9r cdot a_1=7 \ 9r=8-2a_1 end{cases}[/latex] Dolne równanie podstawiam do górnego: [latex]a_1^2 + (8-2a_1) cdot a_1=7 \ \ a_1^2+8a_1-2a_1^2=7 \ \ -a_1^2+8a_1-7=0 qquad /cdot (-1) \ \ a_1^2-8a_1+7=0 \ \ Delta=8^2-4 cdot 7 = 64-28=36 \ sqrt{Delta}=6 \ \ a_{1_1}= dfrac{8+6}{2}=dfrac{14}{2}=7 \ \ a_{1_2}=dfrac{8-6}{2}=dfrac{2}{2}=1[/latex] powracając to 9r=8-2a1 : [latex]9r=8-2a_1 qquad /:9 \ \ r_1=dfrac{8-2a_{1_1}}{9}= dfrac{8-2 cdot 7}{9}=-dfrac{6}{9}=-dfrac{2}{3} \ \ r_2=dfrac{8-2a_{1_2}}{9}= dfrac{8-2 cdot 1}{9}= dfrac{6}{9}=dfrac{2}{3}[/latex] Czyli albo to jest ciąg gdzie a1 = 7  oraz r = -2/3  albo to jest ciąg gdzie a1 = 1 oraz r=2/3  Zajmuję się pierwszym ciągiem i wyznaczam a10: [latex]a_{10}=a_1+9r=7 - 9 cdot dfrac{2}{3}=1 \ \ S_{10}=dfrac{a_1+a_{10}}{2} cdot 10= dfrac{7+1}{2} cdot 10=4 cdot 10 = 40[/latex] Zauważ, że w 2. przypadku otrzymasz ten sam ciąg, lecz zapisany w odwrotnej kolejności. Czyli suma będzie ta sama - wynosi ona 40 (odpowiedź) zad. 18  Dane z zadania: [latex]a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 = 30 \ \ S_5=30 \ \ dfrac{a_1+a_5}{2} cdot 5=30 qquad /:5 \ \ dfrac{a_1+a_5}{2}=6 qquad /cdot 2 \ \egin{cases} a_1+a_5=12 \ a_2 cdot a_4=11end{cases} \ hbox{Rozwiazuje dokladnie tak samo jak poprzednio:} \ egin{cases}a_1+a_1+4r=12 \ (a_1+r)(a_1+3r)=11 end{cases} \ \ egin{cases}2a_1+4r=12qquad /:2 \ a_1^2+3a_1 r+a_1 r+3r^2=11 end{cases}[/latex] [latex]egin{cases}a_1+2r=6 \ a_1^2+4a_1 cdot r+3r^2=11 end{cases} \ \ hbox{Podstawiam z gornego rownania} a_1=6-2r: \ \ (6-2r)^2+4(6-2r)r+3r^2=11 \ \ 4r^2-24r+36+24r-8r^2+3r^2=11 \ \ -r^2+36=11 \ \ -r^2=-25 qquad /cdot (-1) \ r^2=25 qquad /sqrt{} \ \ |r|=5 qquad r>0 hbox{bo ciag jest rosnacy}\ \ oxed{r=5}[/latex] Stąd też a1 = 6-2r = 6 - 2 *5 = 6-10 = -4  Wzór na n-tą sumę ciągu wyraża się jako: [latex]S_n = dfrac{a_1+a_n}{2} cdot n \ \ hbox{Gdzie:} \ \ a_n=a_1+(n-1)r=-4+5(n-1)=-4+5n-5=5n-9 \ \ hbox{Zatem:} \ \ S_n= dfrac{-4+5n-9}{2} cdot n= dfrac{5n^2-13n}{2} \ \ hbox{Wyznaczyc trzeba najmniejsze rozwiazanie nierownosci:}[/latex] [latex]S_n>100 \ \ dfrac{5n^2-13n}{2}>100 qquad /cdot 2 \ \ 5n^2-13n>200 \ \ 5n^2-13n-200>0 \ \ Delta=13^2 +5 cdot 200 cdot 4=169+4000=4169 \ \ n_1=dfrac{13+sqrt{4169}}{10} approx 7,76 \ \ n_2=dfrac{13-sqrt{4169}}{10} approx -5,16 \ \ nin (-infty; -5,16) cup (7,76; +infty)[/latex] Najmniejszą liczbą naturalną należącą do tego rozwiązania jest 8, więc należy dodać co najmniej 8 wyrazów tego ciągu.