Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 6, a stosunek sumy pięciu początkowych wyrazów tego ciągu do sumy kolejnych pięciu wyrazów wynosi 3/4. Oblicz szósty wyraz tego ciągu.

Wiemy, że [latex]a_1 = 6[/latex] oraz [latex] frac{S_5}{S_{10}-S_5} = frac{3}{4} [/latex]. Wiemy, że [latex]S_5 = a_1 frac{1-q^5}{1-q} [/latex] a [latex]S_{10} = a_1 frac{1-q^{10}}{1-q} [/latex]. Po podstawieniu tych zależności do równania powyżej otrzymujemy równanie: [latex] frac{a_1 frac{1-q^5}{1-q} }{a_1 frac{1-q^{10}}{1-q} -a_1 frac{1-q^5}{1-q} } = frac{3}{4} [/latex] po rozwiązaniu tego równania otrzymamy [latex]q^5 = frac{4}{3} [/latex] czyli [latex]q = sqrt[5]{ frac{4}{3}} [/latex] Teraz szósty wyraz ciągu [latex]a_6 = a_1*q^{6-1} = a_1*q^5[/latex] stąd [latex]a_6 = 6 * frac{4}{3} = 8[/latex]