Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym an jeżeli

[latex]a_n=frac{1+3+5+...+2n-1}{(2n-1)^2}[/latex] Zajmę się licznikiem ciągu. Łatwo zauważyć, że jest to suma ciągu arytmetycznego z różnicą r=2 Niech: [latex]b_n=1+3+5+...+2m-1[/latex] [latex]S_m=frac{b_1+b_m}{2}*m=frac{1+2m-1}{2}*m=m^2[/latex] Można z tego wywnioskować, że: 1+3+5+...+2n-1=n² Mamy więc: [latex] lim_{n o infty} a_n = lim_{n o infty} frac{1+3+5+...+2n-1}{(2n-1)^2}= lim_{n o infty} frac{n^2}{4n^2-4n+1}=\ \ = lim_{n o infty} frac{n^2}{n^2(4-frac{4}{n}+frac{1}{n^2})} = frac{1}{4-0+0}=frac{1}{4}[/latex]