Udowodnij że jeśli resztą z dzielenia liczby naturalnej przez 11 jest 1 to resztą z dzielenia jej kwadratu też jest 1. Czy prawdziwe jest uogólnienie że jeśli resztą z dzielenia liczby n przez p jest 1 tp resztą z dzielenia liczby n^2 przez p jest też 1?

1. Liczbę naturalną zapiszmy jako n=11k+1. [latex]n=11k+1, kinmathbb{N} \n^2=(11k+1)^2=121k^2+22k+1=11(11k^2+2k)+1[/latex] Co w dzieleniu przez 11 zawsze daje resztę 1. 2. Analogicznie do poprzedniego: [latex]n=kp+1, kinmathbb{N} \n^2=(kp+1)^2=k^2p^2+2kp+1=p(pk^2+2k)+1[/latex] Analogicznie do poprzedniego zadania, w dzieleniu przez p daje to resztę 1.