pokaż że liczba p^4-1 jest podzielna przez 240 , jeżeli p jest liczbą pierwszą większą niż 5

[latex]a=p^4-1\pin P i p>5[/latex] [latex]a=(p^2-1)(p^2+1)=(p-1)(p+1)(p^2+1)[/latex] [latex]240=16cdot3cdot5[/latex] Liczba pierwsza i większa od 5 jest liczbą nieparzystą. Liczby: p-1 oraz p+1 to dwie kolejne liczby parzyste, więc jedna z nich musi dzielić się przez 4. Liczbą parzystą jest również liczba [latex]p^2+1[/latex], czyli liczba a dzieli się przez [latex]2cdot4cdot2=16[/latex] Liczba p nie dzieli się przez 3 (pierwsza, większa od 5). Jeśli więc p daje w dzieleniu przez 3 resztę 1, to liczba p-1 dzieli się przez 3. Jeśli p daje w dzieleniu przez 3 resztę równą 2, to liczba p+1 dzieli się przez 3. Liczba a dzieli się więc przez 3.  Liczba p nie dzieli się przez 5. Jeśli p daje w dzieleniu przez 5 resztę równą 1, to liczba p-1 dzieli się przez 5. Jeśli p daje w tym dzieleniu resztę 2, to liczba p=5n+2, gdzie n jest liczbą naturalną i liczba [latex]p^2+1=(5n+2)^2+1=25n^2+20n+4+1=5(5n^2+4n+1)[/latex] więc dzieli się przez 5. Jeśli p daje resztę 3, to liczba p jest postaci p=5n+3 i liczba [latex]p^2+1=(5n+3)^2+1=25n^2+30n+9+1=5(5n^2+6n+2)[/latex] dzieli się przez 5. Jeśli p daje w tym dzieleniu resztę 4, to liczba p+1 dzieli się przez 5. Stąd liczba a dzieli się przez; [latex]16cdot3cdot5=240[/latex]