Zadanie 7.184 z ciągów w załączniku

Wyznaczamy dziedzinę funkcji: [latex]x-2 ot=0[/latex] [latex]x ot=2[/latex] Zatem dziedziną funkcji jest: [latex]D_{f}:xin R-{2}[/latex] Z prawej strony mamy zapisaną sumę nieskończonego ciągu geometrycznego, wyznaczamy iloraz "q" ciągu: [latex]q=frac{a_{2}}{a_{1}}=frac{frac{(x+3)x}{x-2}}{x+3}[/latex] [latex]q=frac{(x+3)x}{x-2}*frac{1}{x+3}=frac{x}{x-2}[/latex] Sprawdzamy warunek istnienia sumy tego nieskończonego ciągu geometrycznego: [latex]|x| extless 1Leftrightarrow x extless 1 wedge x extgreater -1[/latex] [latex]|frac{x}{x-2}| extless 1Leftrightarrow frac{x}{x-2} extless 1 wedge frac{x}{x-2} extgreater -1[/latex] [latex]|frac{x}{x-2}| extless 1Leftrightarrow frac{x}{x-2}-1 extless 0 wedge frac{x}{x-2}+1 extgreater 0[/latex] [latex]|frac{x}{x-2}| extless 1Leftrightarrow frac{x}{x-2}-frac{x-2}{x-2} extless 0 wedge frac{x}{x-2}+frac{x-2}{x-2} extgreater 0[/latex] [latex]|frac{x}{x-2}| extless 1Leftrightarrow frac{x-x+2}{x-2} extless 0 wedge frac{x+x-2}{x-2} extgreater 0[/latex] [latex]|frac{x}{x-2}| extless 1Leftrightarrow frac{2}{x-2} extless 0 wedge frac{2x-2}{x-2} extgreater 0[/latex] Iloraz jest mniejszy/większy od zera gdy iloczyn również jest mniejszy/większy od zera, możemy zatem zapisać: [latex]|frac{x}{x-2}| extless 1Leftrightarrow 2(x-2) extless 0 wedge (2x-2)(x-2) extgreater 0[/latex] [latex]|frac{x}{x-2}| extless 1Leftrightarrow x-2 extless 0 wedge 2(x-1)(x-2) extgreater 0[/latex] [latex]|frac{x}{x-2}| extless 1Leftrightarrow x extless 2 wedge 2(x-1)(x-2) extgreater 0[/latex] Druga nierówność to funkcja kwadratowa w postaci iloczynowej, znamy więc miejsca zerowe funkcji. Możemy zauważyć że po wymnożeniu wszystkich czynników przez siebie otrzymamy funkcję o współczynniku "a" dodatnim, więc ramiona paraboli będą skierowane w górę (rysunek w załączniku). Więc przedziały w których taka funkcja jest większa od zera to: [latex]xin(-infty;1)cup(2;infty)[/latex] Możemy zapisać: [latex]|frac{x}{x-2}| extless 1Leftrightarrow x extless 2 wedge xin(-infty;1)cup(2;infty)[/latex] Ponieważ oba warunki muszą zachodzić jednocześnie, zmienna "x" musi należeć do przedziału: [latex]xin(-infty;1)[/latex] Wyznaczamy sumę nieskończonego ciągu geometrycznego: [latex]S=frac{a_{1}}{1-q}=frac{x+3}{1-frac{x}{x-2}}=frac{x+3}{frac{x-2}{x-2}-frac{x}{x-2}}[/latex] [latex]S=frac{x+3}{frac{x-2-x}{x-2}}=frac{x+3}{frac{-2}{x-2}}=x+3*frac{x-2}{-2}[/latex] [latex]S=frac{(x+3)(x-2)}{-2}=frac{x^{2}+3x-2x-6}{-2}=frac{x^{2}+x-6}{-2}[/latex] [latex]S=-frac{1}{2}x^{2}-frac{1}{2}x+3=f(x)[/latex] Wykres funkcji w załączniku Wyznaczamy pierwszą współrzędną wierzchołka: [latex]p=frac{-b}{2a}[/latex] [latex]p=frac{-(-frac{1}{2})}{2*(-frac{1}{2})}=frac{frac{1}{2}}{-1}=-frac{1}{2}[/latex] Wyznaczamy wartość funkcji dla pierwszej współrzędnej wierzchołka, wyznaczamy tym samym "q": [latex]q=f(p)=-frac{1}{2}*(-frac{1}{2})^{2}-frac{1}{2}*(-frac{1}{2})+3[/latex] [latex]q=f(p)=-frac{1}{2}*frac{1}{4}+frac{1}{4}+3[/latex] [latex]q=f(p)=-frac{1}{8}+frac{2}{8}+3[/latex] [latex]q=f(p)=3frac{1}{8}[/latex] Możemy podać zbiór wartości funkcji: [latex]yin(-infty;3frac{1}{8})[/latex]