zad 1. Wyznacz trzy początkowe wyrazy ciągu (an) jeśli a) an= 4n +3 b)an=5n kwadrat +3 c) an=(n-2)(n+1) zad 2 Ciąg an jest określonym wzorem an=4n+3. wyznacz n wiedząc an+1 = 27 zad 3 Wyznacz ciąg arytmetyczny wiedząc ze a) a3= 13, a8=38 b)a3

zad1 a)an=4n+3 a₁=4*1+3 a₁=7 a₂=4*2+3 a₂=11 a₃=4*3+3 a₃=15 b) an=5n²+3 a₁=5*1²+3 a₁=8 a₂=5*2²+3 a₂=23 a₃=5*2³+3 a₃=43 c)an=(n-2)(n+1) a₁=(1-2)(1+1) a₁=-2 a₂=(2-2)(2+1) a₂=0 a₃=(3-2)(3+1) a₃=4 zad2 an=4n+3 a(n+1)=27 4(n+1)+3=27 4(n+1)=27-3 4(n+1)=24/:4 n+1=6 n=6-1 n=5 zad3 a₃=13     a₈=38 an=a₁+(n-1)*r a₃=a₁+(3-1)*r a₃=a₁+2r a₈=a₁+7r a₅=a₃+5r obliczymy r 38=13+5r 38-13=5r 5r=25 r=5 teraz obliczymy a₁ 13=a₁+2*5 a₁=3 wzór ciągu an=3+(n-1)*5 an=3+5n+5 an=8+5n b)a₃=-17  a₇=-45 a₃=a₁+2r a₇=a₁+6r a₇=a₃+4r -45=-17+4r -45+17=4r 4r=-28 r=-7 obliczymy a₁ -17=a₁+(-7)*2 -17=a₁-14 a₁=-17+14 a₁=-3 an=-3+(n-1)*(-7) an=-3-7n+7 an=4-7n c)a₂+a₆=14 a₅=12 a₆=a₁+5r a₅=a₁+4r a₆=a₅+r {a₁+5r=12+r z tego równania wyznaczmy a₁ {a₁+r+a₁+5r=14 {a₁=12-4r {2*(12-4r)+r+5r=14 24-8r+6r=14 -2r=-10 r=5 a₁=12-4*5 a₁=-8 an=-8+(n-1)*5 an=-8+5n-5 an=-13+5n zad4 a₁=x-1 a₂=3-x a₃=2x-3 a₂=(a₁+a₃)/2 3-x=(x-1+2x-3)/2 2*(3-x)=3x-4 6-2x=3x-4 -5x=-10 x=2 a₁=2-1=1 a₂=3-2=1 a₃=2*2-3=1 b)3x+z =a₁ a₂=2x+4 a₃=5x+3 2x+4=(3x+z+5x+3)/2 2*(2x+4)=8x+z+3 4x+8=8x+z+3 4x-8x=z+3-8 -4x=z-5 x=(z-5)/(-4) zad5 a₁=10 an=95 r=5 obliczymy n 95=10+(n-1)*5 95=10+5n-5 90=5n n=18 Sn=(a₁+an)*n/2 Sn=(10+95)*18/2 Sn=105*9 Sn=945 zad6 a₃=48 a₅=192 an=a₁*q⁽ⁿ⁻¹⁾ a₃=a₁*q² a₅=a₁*q⁴=a₃*q₂ 192=48*q²/:48 4=q² q=-2  lub q=2 teraz obliczymy a₁ 48=a₁*(-2)² a₁=12 an=12*(-2)⁽ⁿ⁻¹⁾          lub an=12*2⁽ⁿ⁻¹⁾ an=12*(-2)ⁿ*(-2)⁻¹           an=12*2ⁿ*2⁻¹ an=-6*(-2)ⁿ                      an=6*2ⁿ b)a₁=6  a₅=2/27 a₅=a₁*q⁴ 2/27=6*q⁴/:6 2/27 *1/6=q⁴ 1/81=q⁴ q=-1/3         q=1/3 an=6*(-1/3)⁽ⁿ⁻¹⁾              lub an=6*(1/3)⁽ⁿ⁻¹⁾ an=6*(-1/3)ⁿ*(-1/3)⁻¹           an=6*(1/3)ⁿ*(1/3)⁻¹ an=-18*(-1/3)ⁿ                     an=18*(1/3)ⁿ c)a₅=-1 a₈=-8/27 a₈=a₁*q⁷ a₅=a₁*q⁴ a₈=a₅*q³ -8/27 =-1 *q³/:(-1) 8/27=q³ q=2/3 -1=a₁*(2/3)⁴ -1=a₁*16/81 a₁=-81/16 an=-81/16*(2/3)⁽ⁿ⁻¹⁾ an=-81/16*(2/3)ⁿ *(2/3)⁻¹ an=-81/16*(2/3)ⁿ*3/2 an=-243/32 *(2/3)ⁿ zad7 a)a₁=4  a₂=x    a₃=25 x=(4+25)/2 x=29/2 x=14,5 b) a₁=x+15      a₂=8        a₃=x-15 8=(x+15+x-15)/2 8=2x/2 8=x