1.
W trójkącie prostokątnym pole jest równe połowie iloczynu przyprostokątnych
[latex]P=frac12ab[/latex]
a=2√3
Obliczamy drugą przyprostokątną z tw. Pitagorasa:
[latex](2sqrt3)^2+b^2=10^2\\b^2=100-12\\b=sqrt{88}=2sqrt{22}[/latex]
[latex]P=frac12cdot2sqrt3cdot2sqrt{22}=2sqrt{66}[/latex]
2.
a=6√3
[latex]P=frac{a^2sqrt3}4=frac{(6sqrt3)^2sqrt3}4=frac{36cdot3sqrt3}4=27sqrt3\\h=frac{asqrt3}2=frac{6sqrt3cdotsqrt3}2=frac{6cdot3}2=9[/latex]
3.
Pole rombu to P=a·h lub P=1/2 · ef
Tutaj szybciej będzie z drugiego wzoru.
Przekątne (e,f) rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą na połowy, więc dzielą romb na cztery jednakowe trójkąty prostokątne o przyprostokątnych e/2 i f/2 oraz przeciwprostokątnej będącej bokiem rombu (a), więc drugą przekątną możemy wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa.
[latex] (frac e2)^2+( frac f2)^2=a^2\\a=12\e=6quadimpliesquad frac e2=3\\ 3^2+( frac f2)^2=12^2\\ frac{ f^2}4=144-9\\f^2=135cdot4=540\\f=9sqrt{30}\\\ P=frac12ef=frac12cdot6cdot9sqrt{30}=27sqrt{30}[/latex]
4.
Wysokości (h) trapezu równoramiennego poprowadzone z końców krótszej podstawy (b) dzielą dłuższą podstawę (a) na trzy części, z których "środkowa" jest równa krótszej podstawie, a "zewnętrzne" są jednakowe.
Jeśli oznaczymy je jako x, to mamy, że a=b+2x
Jeśli kąt jest równy 45° to "h" tworzy z "x" i ramieniem trapezu trójkąt prostokątny o kącie ostrym 45°.
Czyli drugi kąt tego trójkąta to też 45°, więc trójkąt jest równoramienny.
Stąd:
x=h
b=4 h=5
Czyli:
a=b+2h = 4+10=14
Stąd pole:
[latex]P=frac12(a+b)cdot h\\P=frac12(14+4)cdot 5=frac12cdot 18cdot 5=45[/latex]
