Zbadać czy funkcje a) F(x)=c cosx, 0 mniejsze lub równe x mniejsze lub równe pi/2 b) F(x)= c sinx, 0 mniejsze lub równe x mniejsze lub równe pi/2 Mogą być dystrybuantami zmiennej losowej x , jeśli tak to przy jakich c?

Dystrybuanta jest funkcją słabo rosnącą i prawostronnie ciągłą przyjmującą wartości z przedziału [latex][0,1][/latex], dąży w [latex]infty[/latex] do [latex]1[/latex] i w [latex]-infty[/latex] do [latex]0[/latex] Niewątpliwie, obie te funkcje są ciągłe, więc druga część jest spełniona. [latex]ccos x[/latex], gdzie [latex]xin[0,frac{pi}{2}][/latex] jest funkcją malejącą dla [latex]c>0[/latex], dla [latex]c=0[/latex] granica w nieskończoności się nie zgadza, natomiast dla [latex]c<0[/latex] przyjmuje wartości ujemne, więc pierwsza funkcja nie może być dystrybuantą.  [latex]csin x[/latex] jest dystrybuantą dla [latex]c=1[/latex] - dla niego spełnia wszystkie własności. Dla większych [latex]c[/latex] wyskakujemy poza przedział, dla mniejszych dodatnich granica w nieskończoności jest zła, a dla ujemnych mamy funkcję malejącą.