Proszę o rozwiązanie następujących zadań z wyjaśnieniem. Zadania są dość proste (podstawy z poszczególnych działów), a punktów do zdobycia macie sporo :). 1. Następujące zbiory należą do [latex]mathbb R[/latex]: [latex]A = (-5,5) , B=(-2,2)[/latex]. Z

1. [latex]Acup B = (-5,5)[/latex], ponieważ B zawiera się w A [latex] Acap B = (-2,2)[/latex] - część wspólna [latex] Asetminus B=(-5,2]cup[2,5)[/latex] - wszystko, co jest w A, ale nie w B. [latex]Bsetminus A = varnothing[/latex] - wszystko, co w B, ale nie w A, ale B jest zawarty w A. 2. Dziedzina: [latex]mathbb{R}setminus{-2}[/latex] - wszystkie liczby, które nie zerują mianownika. Zbiór wartości: jest to funkcja homograficzna, więc, zgodnie z jej własnościami, zbiór wartości to [latex]mathbb{R}setminus{frac{a}{c}}=mathbb{R}setminus{1}[/latex] 3. Musimy wyznaczyć [latex]x[/latex] z równania: [latex]displaystyle y =frac{x-3}{x+2}[/latex] [latex]displaystyle y=frac{x+2-5}{x+2}=1-frac{5}{x+2}[/latex] [latex]fra{5}{x+2}=1-y Leftrightarrow (x+2)(1-y)=5 Leftrightarrow x=frac{5}{1-y}-2[/latex] Funkcją odwrotną jest zatem: [latex]f^{-1}(x) = frac{5}{1-x}-2[/latex] Dziedzina to zbiór wartości z zad. 2 i na odwrót. 4. a) relacja jest zwrotna - każdy [latex]x[/latex] jest w relacji x [latex]x[/latex], [latex]xin X[/latex] b) spójność jest ok - [latex]forall x,yin X: xRy[/latex] c) relacja ta wygląda tak, że liczba nieparzysta jest w relacji z każdą nieparzystą, a parzysta z parzystą - nie ma innych par. Skoro [latex]xRy[/latex] i [latex]yRz[/latex], to wszystkie one są (nie)parzyste, więc [latex]xRz[/latex] - mamy przechodniość. Z a), b) i c) [latex]R[/latex] jest relacją równoważności. Klasy równoważności: [latex][1]=[3]={1,3}; [2]=[4]={2,4}[/latex] 5. Jest to relacja częściowego porządku: a) każda liczba dzieli samą siebie - zwrotność b) jeśli jedna liczba dzieli drugą, a druga trzecią, to pierwsza dzieli trzecią - przechodniość c) jeśli jedna liczba dzieli drugą, a jednocześnie druga - pierwszą, to są one równe - antysymetryczność. Nie jest to relacja liniowego porządku: 2 nie dzieli 7 ani na odwrót, więc nie mamy spójności. 6. Zgaduję, że ten postać zwarta to: [latex]a_n = 3^n-2^n[/latex]. Udowodnię to indukcyjnie: [latex]a_0=3^0 - 2^0 = 0[/latex] [latex]a_1=3^1 - 2^1 = 1[/latex] Zakładam teraz, że: [latex]a_{n-2} = 3^{n-2}-2^{n-2}[/latex] oraz [latex]a_{n-1} = 3^{n-1}-2^{n-1}[/latex] Mamy: [latex]a_n = 5a_{n-1}-6a_{n-2} = 5cdot3^{n-1}-5cdot2^{n-1}-6cdot3^{n-2}-6cdot2^{n-2}=[/latex] [latex]5cdot3^{n-1}-5cdot2^{n-1}-2cdot3^{n-1}-3cdot2^{n-1}=3 cdot3^{n-1}-2cdot2^{n-1} = [/latex] [latex]= 3^n-2^n[/latex]. Na mocy indukcji matematycznej dobrze odgadłem rozwiązanie :)