Zastosujemy zasadę indukcji matematycznej. [latex]I:[/latex] sprawdzamy prawdziwość nierówności dla [latex]n=1[/latex]: [latex]vert sin (1cdot x)vert leq 1cdot vert sin x vert\ vert sin x vert leq vert sin x vert\ OK[/latex] [latex]II:[/latex] Zakładamy, że podana nierówność jest prawdziwa dla pewnego [latex]n in mathbb{N}[/latex] i sprawdzamy, czy z tego faktu wynika, że jest ona również prawdziwa dla [latex]n+1[/latex], czyli dowodzimy implikacji: [latex]vert sin nx vert leq ncdot vert sin x vert Rightarrow vert sin (n+1)x vert leq (n+1) cdot vert sin x vert[/latex]: [latex]L=vert sin (n+1)x vert=vert sin nx cdot cos x +sin x cdot cos nx vert \ leq vert sin nx cdot cos x vert + vert sin x cdot cos nx vert\ = vert sin nx vert cdot vert cos x vert + vert sin x vert cdot vert cos nx vert leq ncdot vert sin x vert cdot 1+ vert sin x vert cdot 1=\ =ncdot vert sin x vert + vert sin x vert=(n+1) cdot vert sin x vert=P\ L leq P[/latex] Na mocy zasady indukcji matematycznej otrzymujemy tezę.
