1. Stosujemy własności potęg: [latex]frac{2^4cdot8^2cdot4^{-5}}{2^6cdot32^{-1}}=frac{2^4cdot(2^3)^2cdot(2^2)^{-5}}{2^6cdot(2^5)^{-1}}=frac{2^4cdot ot2^6cdot2^{-10}}{ ot2^6cdot2^{-5}}=frac{2^{-6}}{2^{-5}}=2^{(-6)-(-5)}=2^{-1}[/latex] Odpowiedź B) 2.Doprowadzamy do wspólnego mianownika: [latex]frac{sqrt{3}}{2sqrt{3}+1}+frac{sqrt{3}}{11}= frac{11}{11}cdotfrac{sqrt{3}}{2sqrt{3}+1}+frac{2sqrt{3}+1}{2sqrt{3}+1}cdotfrac{sqrt{3}}{11}= frac{11sqrt{3}}{11(2sqrt{3}+1)}+frac{sqrt{3}(2sqrt{3}+1)}{11(2sqrt{3}+1)}=\\= frac{11sqrt{3}+sqrt{3}(2sqrt{3}+1)}{11(2sqrt{3}+1)}=frac{11sqrt{3}+2cdot3+sqrt{3}}{11(2sqrt{3}+1)}=frac{12sqrt{3}+6}{11(2sqrt{3}+1)}=frac{6(2sqrt{3}+1)}{11(2sqrt{3}+1)}=\\=frac{6}{11}cdotfrac{2sqrt{3}+1}{2sqrt{3}+1}= frac{6}{11}[/latex] Odpowiedź B) 3. [latex]log_{6}12+log_{6}3-log_{3}27=log_{6}(12cdot3)-3=log_{6}36-3=2-3=-1[/latex] Odpowiedź A) 4. [latex]x+y=3quad/(...)^2\(x+y)^2=9[/latex] Odpada odpowiedź C) [latex](x+y)^2=9\ x^2+2xy+y^2=9\(x^2+y^2)+2xy=9\29+2xy=9\2xy=9-29\2xy=-20quad/:2\xy=-10 [/latex] Odpada odpowiedź B) [latex](x-y)^2=x^2-2xy+y^2=(x^2+y^2)-2xy=29-(-20)=\29+20=49[/latex] Odpowiedź D) 5. Najprościej wybrać sobie odpowiednią liczbę i po prostu sprawdzić. Niech np. a=5. Wtedy a:4 = 5:4 = 1 reszty 1 a więc tak jak w poleceniu. [latex]a^2=5^2=25[/latex] i 25:4 = 6 reszty 1. A więc reszta to 1 - odpowiedź B) Gdyby jednak na upartego chcieć to sprawdzić dla dowolnej liczby a, to z faktu, że reszta z dzielenia a przez 4 wynosi 1 wnioskujemy, że możemy ją zapisać w postaci: [latex]a=4k+1quad kinmathbb{Z}[/latex] ([latex]mathbb{Z}[/latex] to liczby całkowite, jeśli chcesz możesz je oznaczyć literą [latex]mathbb{C}[/latex]) Wtedy: [latex]a^2=(4k+1)^2=16k^2+8k+1=4(4k^2+2k)+1[/latex] A więc z postaci widzimy, że reszta z dzielenia kwadratu a przez 4 wynosi 1 (bo [latex]4k^2+2k[/latex] jest liczbą całkowitą). 6. Z wzoru skróconego mnożenia mamy: [latex](x^2-5)(x+sqrt{5})=0\(x-sqrt{5})(x+sqrt{5})(x+sqrt{5})=0\ (x-sqrt{5})(x+sqrt{5})^2=0\[/latex] A więc są dwa różne pierwiastki tego równania. Odpowiedź C) 7. Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias a następnie, jak poprzednio, korzystamy z wzoru skróconego mnożenia: [latex]x^2(x-2)-3(x-2)=0\ (x-2)(x^2-3)=0\ (x-2)(x-sqrt{3})(x+sqrt{3})=0\ x-2=0quadveequad x-sqrt{3}=0quadveequad x+sqrt{3}=0\ x=2quadveequad x=sqrt{3}quadveequad x=-sqrt{3}\ \x_1=2\x_2=sqrt{3}\x_3=-sqrt{3}[/latex] Odpowiedź A) 8. Oczywiście mianownik nie może być zerem więc: [latex]x+1 e0\x e-1[/latex] Odpowiedź B) 9. Podstawmy najpierw do wzoru funkcji współrzędne x i y punktu B: [latex]y=ax+b\6=acdot0+b\oxed{b=6}[/latex] a następnie punktu A wraz z obliczoną wartością b: [latex]y=ax+b\0=-3 a+b\0=-3a+6\3a=6quad/:3\oxed{a=2}[/latex] Odpowiedź B) 10. [latex]f(x)=2x-ax+3\f(x)=(2-a)x+3[/latex] Funkcja liniowa jest rosnąca jeśli jej współczynnik kierunkowy (przy x) jest większy od zera a więc: [latex]2-a extgreater 0\2 extgreater a[/latex] Odpowiedź A) 11. Miejscami zerowymi funkcji f(x) są 0 i -4. Współrzędna x wierzchołka leży dokładnie w środku między nimi a więc: [latex]x_w=frac{-4-0}{2}=frac{-4}{2}=-2[/latex] Współrzędna y wierzchołka to wartość funkcji w wyznaczonym punkcie [latex]x_w[/latex] a więc: [latex]y_w=f(x_w)=f(-2)=-2(-2+4)=-2cdot2=-4[/latex] Współrzędne wierzchołka to (-2;-4) - odpowiedź D) 12. Sprawdźmy dla jakich n wyrazy ciągu są dodatnie: [latex]a_n extgreater 0\-n^2+5x+14 extgreater 0\\Delta=25-4cdot(-1)cdot14=25+56=81\sqrt{Delta}=sqrt{81}=9\\ n_1=frac{-5-9}{-2}=frac{-14}{-2}=7\\ n_2=frac{-5+9}{-2}=frac{4}{-2}=-2[/latex] Ponieważ współczynnik przy [latex]n^2[/latex]jest mniejszy od zera więc rozwiązania będą się zawierać pomiędzy otrzymanymi wartościami (ale bez nich samych bo nierówność jest ostra). Dodatkowo z faktu, że mają to być liczby naturalne, otrzymujemy: [latex]nin{1, 2,3,4,5,6}[/latex] Odpowiedź B) 13. Korzystamy z własności ciągu arytmetycznego mówiącej, że dla trzech kolejnych jego wyrazów suma pierwszego i trzeciego jest równa dwukrotności środkowego a więc: [latex]4+x+2=2cdot2x\x+6=4x\6=4x-x\6=3xquad/:3\x=2[/latex] 14. Z definicji ciągu geometrycznego mamy, że: [latex]a_5cdot q^2=a_7\\frac{1}{16}cdot q^2=frac{1}{64}quad/cdot16\\ q^2=frac{1}{4}\\q=frac{1}{2}quadveequad q=-frac{1}{2}[/latex] Gdyby q było ujemne, to wyrazy ciągu byłyby na przemian dodatnie i ujemne a więc ciąg byłby naprzemienny a zgodnie z poleceniem ma być malejący, więc [latex]q=frac{1}{2}[/latex]. Obliczmy teraz: [latex]a_4cdot q=a_5\a_4cdotfrac{1}{2}=frac{1}{16}quad/cdot2\ a_4=frac{1}{8}[/latex] Odpowiedź A) 15. Wiadomo, że: [latex]sin^2alpha +cos^2alpha=1\oxed{cos^2alpha=1-sin^2alpha}[/latex] oraz: [latex]hbox{tg} alpha=frac{sinalpha}{cosalpha}[/latex] Tak więc: [latex]frac{2sin^2alpha}{1-sin^2alpha}= frac{2sin^2alpha}{cos^2alpha}=2cdotfrac{sin^2alpha}{cos^2alpha}= 2cdot(frac{sinalpha}{cosalpha})^2=2cdot(hbox{tg} alpha)^2=\\= 2cdot(frac{2sqrt{5}}{5})^2=2cdotfrac{4cdot5}{25}=2cdotfrac{20}{25}= 2cdotfrac{4}{5}=frac{8}{5}[/latex] Odpowiedź C)
