Zbadaj monotoniczność nieskończonego ciągu (an) jeśli : a) an = [latex]-3 ^{n} [/latex] (W odpowiedzi napisano, że jest to ciąg malejący)

Najpierw zauważmy, że jest to ciąg geometryczny. Istotnie [latex]dfrac{a_{n+1}}{a_n}=dfrac{-3^{n+1}}{-3^n}=3=const.[/latex], zatem [latex]a_1 extless 0\ q=3 extgreater 1[/latex] W tym momencie możemy odwołajmy się do ogólnie znanych ze szkoły średniej faktów. Iloraz ciągu geometrycznego jest dodatni (równy 3), zatem ciąg jest monotoniczny. Pierwszy wyraz ciągu jest ujemny, zaś iloraz większy od 1, zatem ciąg jest malejący. Teraz sprawdźmy to formalnie: [latex]a_{n+1}-a_n=-3^{n+1}-left(-3^n ight)=-3^{n+1}+3^n=3^ncdot (-3+1)=\ =3^ncdot (-2) extless 0[/latex]