Udowodnij tożsamosci a)sin4x+sin2x*cos2x+cos2x=1 b)(1−cos2x)(1+tg2x)=tg2x

W zadaniach skorzystamy z następujących tożsamości: [latex]sin^2x+cos^2x=1[/latex] oraz [latex]tg x=dfrac{sin x}{cos x} [/latex] a) [latex]sin^4x+sin^2xcdotcos^2x+cos^2x=sin^2xcdot(sin^2x+cos^2x)+cos^2x=\\ sin^2xcdot1+cos^2x=sin^2x+cos^2x=oxed{1}[/latex] b) [latex](1-cos^2x)(1+tg^2x)=sin^2xcdotleft(1+dfrac{sin^2x}{cos^2x} ight)= sin^2x+dfrac{sin^4x}{cos^2x}=\\\= sin^2xcdotdfrac{cos^2x}{cos^2x}+dfrac{sin^4x}{cos^2x}= dfrac{sin^2xcdotcos^2x}{cos^2x}+dfrac{sin^4x}{cos^2x}=\\\= dfrac{sin^2xcdotcos^2x+sin^4x}{cos^2x}= dfrac{sin^2xcdot(cos^2x+sin^2x)}{cos^2x}= dfrac{sin^2xcdot1}{cos^2x}=\\\= dfrac{sin^2x}{cos^2x}=oxed{tg^2x}[/latex]