1. Z założenia wiemy, że kąt α jest ostry dlatego może być jednym z kątów trójkąta prostokątnego. Rozważmy więc trójkąt prostokątny w którym jeden z kątów ma miarę α. Z definicji funkcji trygonometrycznych wiemy, że tangens tego kąta jest równy stosunkowi długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α (oznaczmy ją np. [latex]a[/latex]), do długości drugiej przyprostokątnej (oznaczmy ją [latex]b[/latex]). Stąd mamy, że: [latex]hbox{tg}alpha=dfrac{a}{b}[/latex]. Niech [latex]a=4[/latex] oraz [latex]b=1[/latex]. Wtedy oczywiście:
[latex]hbox{tg}alpha=dfrac{a}{b}=dfrac{4}{1}=4[/latex]
a więc taki, jak w poleceniu. Jeśli teraz oznaczymy przez [latex]c[/latex] przeciwprostokątną tego trójkąta to z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć, że będzie miała ona długość:
[latex]a^2+b^2=c^2\\4^2+1^2=c^2\\c^2=16+1\\c^2=17\\oxed{c=sqrt{17}}[/latex]
Mając długości wszystkich trzech boków, możemy obliczyć wartość sinusa i cosinusa kąta α (stosując przyjęte wcześniej oznaczenia boków):
[latex]sinalpha=dfrac{a}{c}=dfrac{4}{sqrt{17}}\\\cosalpha=dfrac{b}{c}=dfrac{1}{sqrt{17}}[/latex]
Porównując otrzymane wyniki z odpowiedziami widzimy, że poprawna jest odpowiedź A)
2.
Przekształćmy najpierw równość daną w poleceniu korzystając z własności
[latex]hbox{tg}alpha=dfrac{sinalpha}{cosalpha}[/latex]
Będziemy wtedy mieć:
[latex]dfrac{sinalpha}{hbox{tg}alpha}=dfrac{sqrt{3}}{2}\\\ dfrac{sinalpha}{frac{sinalpha}{cosalpha}}=dfrac{sqrt{3}}{2}\\\ dfrac{sinalphacdotcosalpha}{sinalpha}=dfrac{sqrt{3}}{2}\\\ oxed{cosalpha=dfrac{sqrt{3}}{2}}[/latex]
Wiadomo, że dla kąta ostrego cosinus przyjmuje taką wartość gdy kąt α=30°.
Obliczmy teraz miarę drugiego kąta ostrego w tym trójkącie (oznaczmy go β). W tym celu skorzystamy z własności mówiącej, że suma miar wszystkich kątów w trójkącie jest równa 180°. Stąd będziemy mieli:
[latex]alpha+eta+90^circ=180^circ\\30^circ+eta+90^circ=180^circ\\eta+120^circ=180^circ\\eta=180^circ-120^circ\\oxed{eta=60^circ}[/latex]
Ostatecznie więc możemy stwierdzić, że miary kątów ostrych tego trójkąta wynoszą 30° i 60°.
3.
Oznaczmy, jak poprzednio, przez [latex]a[/latex] i [latex]b[/latex] długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym (bok [latex]a[/latex] leży naprzeciw kąta α) a przez [latex]c[/latex] długość przeciwprostokątnej. Wtedy korzystając z podanego wcześniej wzoru definiującego tangens oraz z twierdzenia Pitagorasa otrzymamy:
[latex]egin{cases}hbox{tg}alpha=dfrac{a}{b}\\a^2+b^2=c^2end{cases}\\\ egin{cases}dfrac{5}{12}=dfrac{a}{b}\\a^2+b^2=39^2end{cases}\\\ egin{cases}12a=5bquad/:12\\a^2+b^2=39^2end{cases}\\\ egin{cases}a=frac{5}{12}b\\a^2+b^2=39^2end{cases}\\\ egin{cases}a=frac{5}{12}b\\(frac{5}{12}b)^2+b^2=39^2end{cases}\\\ egin{cases}a=frac{5}{12}b\\frac{25}{144}b^2+b^2=39^2end{cases}\\\ egin{cases}a=frac{5}{12}b\\1frac{25}{144}b^2=39^2end{cases}\\\ [/latex]
[latex]egin{cases}a=frac{5}{12}b\\frac{169}{144}b^2=39^2quad/sqrt{(dots)}end{cases}\\\ egin{cases}a=frac{5}{12}b\\sqrt{frac{169}{144}b^2}=sqrt{39^2}end{cases}\\\ egin{cases}a=frac{5}{12}b\\frac{13}{12}b=39quad/cdotfrac{12}{13}end{cases}\\\ egin{cases}a=frac{5}{12}b\\b=frac{
ot39^3cdot12}{
ot13^1}end{cases}\\\ egin{cases}a=frac{5}{12}b\\b=36end{cases}\\\ egin{cases}a=frac{5}{
ot12^1}cdot
ot36^3\\b=36end{cases}\\\ oxed{egin{cases}a=15\b=36end{cases}}[/latex]
Mając obliczone długości przyprostokątnych możemy obliczyć pole trójkąta:
[latex]P_{Delta}=dfrac{1}{2}ab=dfrac{1}{2}cdot15cdot36=15cdot18=oxed{270}[/latex]
Szukane pole trójkąta jest równe 270.
