1 Ciąg ([latex] a_{n} [/latex]) określ wzorem [latex] a_{n} [/latex] = [latex]n^{2} [/latex] - 10n - 24 dla n[latex] geq [/latex] 1. Ile wynosi liczba wszystkich niedodatnich wyrazów tego ciągu. 2. Suma dziesieciu początkowych wyrazow ciagu arytmetyczneg

Zadanie 1 Rozważmy ciąg dany wzorem ogólnym [latex]a_n=n^2-10n-24[/latex] dla [latex]n in mathbb{N_+}[/latex]. [latex]a_nleq0\ n^2-10n-24 leq 0\ Delta=10^2+96=196\ sqrt{Delta}=sqrt{196}=14\ n_1=dfrac{10-14}{2}=-2\ n_2=dfrac{10+14}{2}=12\ \ n in [-2;12] cap mathbb{N_+}\ n in {1;2;ldots,12}[/latex] Odpowiedź: Rozważany ciąg ma 12 niedodatnich wyrazów. Zadanie 2 [latex]a_1=3\ S_{10}=35\ S_n=dfrac{2a_1+(n-1)r}{2} cdot n\ dfrac{6+9r}{2} cdot 10=35\ 6+9r=7\ 9r=1vert :9\ r=dfrac{1}{9}\ a_n=a_1+(n-1)r\ a_{10}=3+9r=3+9cdot dfrac{1}{9}=3+1=4[/latex] Zadanie 3 [latex] left { {{a_3=15} atop {a_7=9}} ight. \ left { {{a_1+2r=15} atop {a_1+6r=9}} ight. \ left { {{a_1+2r=15} atop {-a_1-6r=-9}} ight. \ -------\ -4r=6vert :(-4)\ r=-1,5\ a_3=15\ a_1+2r=15\ a_1+2cdot (-1,5)=15\ a_1-3=15\ a_1=18\ a_n=a_1+(n-1)r\ a_n=18+(n-1)cdot (-1,5)=18-1,5n+1,5=19,5-1,5n[/latex]