Wykaż ze trójkąt PQR jest prostokątny i oblicz jego pole gdy P(4,-3) Q(2,5) R(-2,4)

To zadanie można co prawda rozwiązać szybciej, ale zróbmy je "tradycyjnie". Najpierw obliczmy długości boków trójkąta. Aby to zrobić musimy policzyć odległości pomiędzy każdą parą punktów podanych w zadaniu. W tym celu skorzystamy ze wzoru: [latex]|AB|=sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}[/latex] na odległość dwóch punktów [latex]A=(x_a,x_b)[/latex] oraz [latex]B=(x_b,y_b)[/latex]. Podstawiając dane z polecenia, otrzymamy: [latex]P=(4,-3)qquad Q=(2,5) qquad R=(-2,4)\\\ |PQ|=sqrt{(x_q-x_p)^2+(y_q-y_p)^2}=sqrt{(2-4)^2+(5-(-3))^2}=\\ sqrt{(-2)^2+(5+3)^2}=sqrt{4+8^2}=sqrt{4+64}=sqrt{68}=sqrt{4cdot17}=oxed{2sqrt{17}}\\\ |QR|=sqrt{(x_r-x_q)^2+(y_r-y_q)^2}=sqrt{(-2-2)^2+(4-5)^2}=\\ sqrt{(-4)^2+(-1)^2}=sqrt{16+1}=oxed{sqrt{17}}\\\ |RP|=sqrt{(x_p-x_r)^2+(y_p-y_r)^2}=sqrt{(4-(-2))^2+(-3-4)^2}=\\ sqrt{(4+2)^2+(-7)^2}=sqrt{6^2+49}=sqrt{36+49}=oxed{sqrt{85}}[/latex] Zauważmy też, że [latex]sqrt{17} extless 2sqrt{17}[/latex] oraz [latex]2sqrt{17}=sqrt{68} extless sqrt{85}[/latex] Jak wiemy, w trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest bokiem najdłuższym więc w naszym przypadku, jeśli tylko badany trójkąt byłby prostokątny, przeciwprostokątną byłby bok |RP| o długości [latex]sqrt{85}[/latex], zaś boki |PQ| i |QR| byłyby przyprostokątnymi. Sprawdźmy więc czy prawdziwa jest równość |PQ|²+|QR|²=|RP|². Mamy: [latex]L:|PQ|^2+|QR|^2=(2sqrt{17})^2+(sqrt{17})^2=4cdot17+17=68+17=oxed{85}\\P:|RP|^2=(sqrt{85})^2=oxed{85}\\oxed{L=P}[/latex] A więc na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa możemy stwierdzić, że trójkąt PQR jest prostokątny. Na koniec obliczmy jeszcze jego pole. [latex]P=frac{1}{2}ab=frac{1}{2}cdot|PQ|cdot|QR|=frac{1}{2}cdot2sqrt{17}cdotsqrt{17}=oxed{17}[/latex] Pole trójkąta prostokątnego PQR jest równe 17 [j²].