Zad. 1
Warunek wynikający z zadania: x < 0
|2x + 6| – x = 3m
|2x + 6| = x + 3m
2x + 6 < 0
2x < –6
x < –3
dla x < –3
–2x – 6 = x + 3m
–3x = 3m + 6
x = –m – 2
Wiemy, że w tym przedziale x < 0 i x < –3, więc x ∈ (–∞, –3)
–m – 2 < –3
–m < –1
m > 1
m ∈ (1, ∞)
2x + 6 ≥ 0
2x ≥ –6
x ≥ –3
dla x ≥ –3
2x + 6 = x + 3m
x = 3m – 6
Wiemy, że w tym przedziale x < 0 i x ≥ –3, więc x ∈ [–3, 0)
–3 ≤ x < 0
–3 ≤ 3m – 6 < 0
3 ≤ 3m < 6
1 ≤ m < 2
m ∈ [1, 2)
Wyznaczamy część wspólną obu rozwiązań:
m ∈ (1, 2)
Zad. 2
Mamy równanie liniowe, więc mamy trzy możliwości: 0 rozwiązań (równanie sprzeczne), 1 rozwiązanie (równanie oznaczone) oraz nieskończenie wielką ilość rozwiązań (równanie nieoznaczone). Korzystając z wzoru ogólnego funkcji liniowej f(x) = ax + b, by uzyskać równanie nieoznaczone, "a" i "b" po obu stronach muszą być takie same, by uzyskać równanie sprzeczne, "a" muszą być takie same, a "b" różne. W pozostałych przypadkach otrzymamy równanie oznaczone.
m²(x – 1) = x + m – 2
m²x – m² = x + m – 2
0 rozwiązań
a₁ = a₂
b₁ ≠ b₂
m² = 1
m = 1, m = –1
–m² ≠ m – 2
m² + m – 2 ≠ 0
m² – m + 2m – 2 ≠ 0
m(m – 1) + 2(m – 2) ≠ 0
(m – 1)(m + 2) ≠ 0
m ≠ 1, m ≠ –2
Ostatecznie: m = –1
Nieskończenie wiele rozwiązań:
a₁ = a₂
b₁ = b₂
m² = 1
m = 1, m = –1
–m² = m – 2
m² + m – 2 = 0
m² – m + 2m – 2 = 0
m(m – 1) + 2(m – 2) = 0
(m – 1)(m + 2) = 0
m = 1, m = –2
Ostatecznie: m = 1
1 rozwiązanie dla m ∈ R {–1, 1}
Zad. 3
2m – x + 1 > x + 5
–2x > 4 – 2m
x < m – 2
x ∈ (–∞, m – 2)
Z zadania wiadomo, że x ∈ (–∞, 10 – 3m), więc:
10 – 3m = m – 2
4m = 12
m = 3
