rozwiąż nierówności: zadania w załączniku. proszę o te 2 zadania

Aby rozwiązać nierówność wykładniczą na początku ustalamy jej dziedzinę, a potem staramy się doprowadzić ją do takiej postaci, aby po obu stronach nierówności były potęgi o takich samych podstawach lub przekształcić do innego równania, które potrafimy rozwiązać. Po sprowadzeniu obu stron nierówności do tych samych podstaw, porównujemy wykładniki korzystając z własności monotoniczności funkcji wykładniczej: - jeśli podstawa potęgi a ∈ (0; 1), czyli funkcja wykładnicza jest malejąca, to opuszczając podstawę zmieniamy znak między wykładnikami na przeciwny, - jeśli podstawa potęgi a ∈ (1; + ∞), czyli funkcja wykładnicza jest rosnąca, to opuszczając podstawę pozostawiamy znak między wykładnikami bez zmian. ======================= 1.69. a) [latex](frac{5}{9})^{frac{1}{x}} geq frac{5}{9}[/latex] Dziedzina: x ≠ 0 D: x ∈ R {0} [latex](frac{5}{9})^{frac{1}{x}} geq frac{5}{9} \\ (frac{5}{9})^{frac{1}{x}} geq (frac{5}{9})^1 \\ frac{1}{x} leq 1 \\ frac{1}{x} - 1 leq 0 \\ frac{1}{x} -frac{x}{x} leq 0 \\ frac{1-x}{x} leq 0 \\ (1-x) cdot x leq 0 \ 1 - x = 0 vee x = 0 \ - x = - 1 /cdot (- 1) vee x = 0 \ x = 1 vee x = 0[/latex] Z wykresu (Rys. A - ramiona paraboli skierowane w dół, bo współczynnik przy x² jest ujemny) odczytujemy rozwiązanie: [latex]x in (- infty; 0 angle cup langle 1; + infty)[/latex] Po uwzględnieniu dziedziny x ≠ 0 otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności: [latex]x in (- infty; 0) cup langle 1; + infty)[/latex] b) [latex](frac{2}{3})^{frac{3}{x}} extless sqrt[3]{frac{27}{8}}[/latex] Dziedzina: x ≠ 0 D: x ∈ R {0} [latex](frac{2}{3})^{frac{3}{x}} extless sqrt[3]{frac{27}{8}} \\ (frac{2}{3})^{frac{3}{x}} extless frac{3}{2} \\ (frac{2}{3})^{frac{3}{x}} extless (frac{2}{3})^{-1} \\ frac{3}{x} extgreater -1 \\ frac{3}{x} +1 extgreater 0 \\ frac{3+x}{x} extgreater 0 \\ (3 +x) cdot x extgreater 0 \ 3+x = 0 vee x = 0 \ x = - 3 vee x = 0[/latex] Z wykresu (Rys. B - ramiona paraboli skierowane w górę, bo współczynnik przy x² jest dodatni) odczytujemy rozwiązanie: [latex]x in (- infty; -3) cup (0; + infty)[/latex] i jest to ostateczne rozwiązanie nierówności, bo uwzględnia dziedzinę nierówności. c) [latex](frac{1}{9})^{frac{2x-3}{x+2}} extless 81[/latex] Dziedzina: x + 2 ≠ 0 x ≠ - 2 D: x ∈ R {-2} [latex](frac{1}{9})^{frac{2x-3}{x+2}} extless 81 \\ (frac{1}{9})^{frac{2x-3}{x+2}} extless 9^2 \\ (frac{1}{9})^{frac{2x-3}{x+2}} extless (frac{1}{9})^{-2} \\ frac{2x-3}{x+2} extgreater - 2 \\ frac{2x-3}{x+2} + 2 extgreater 0 \\ frac{2x-3}{x+2} + frac{2 cdot (x+2)}{x+2} extgreater 0 \\ frac{2x-3}{x+2} + frac{2x+4}{x+2} extgreater 0 \\ frac{2x-3+2x+4}{x+2} extgreater 0 \\ frac{4x+1}{x+2} extgreater 0 \\ (4x+1)(x+2) extgreater 0 \ 4x + 1 = 0 vee x + 2 = 0[/latex] [latex]4x = - 1 /:4 vee x = - 2 \ x= -frac{1}{4} vee x = - 2[/latex] Z wykresu (Rys. B - ramiona paraboli skierowane w górę, bo współczynnik przy x² jest dodatni) odczytujemy rozwiązanie: [latex]x in (- infty; -2) cup (-frac{1}{4}; + infty)[/latex] i jest to ostateczne rozwiązanie nierówności, bo uwzględnia dziedzinę nierówności. d) [latex]frac{4}{25} geq (2,5)^{frac{x+1}{x-1}}[/latex] Dziedzina: x - 1 ≠ 0 x ≠ 1 D: x ∈ R {1} [latex]frac{4}{25} geq (2,5)^{frac{x+1}{x-1}} \\ (frac{2}{5})^2 geq (frac{25}{10})^{frac{x+1}{x-1}} \\ (frac{5}{2})^{-2} geq (frac{5}{2})^{frac{x+1}{x-1}} \\ - 2 geq frac{x+1}{x-1} \\ frac{x+1}{x-1} leq - 2 \\ frac{x+1}{x-1} + 2 leq 0 \\ frac{x+1}{x-1} + frac{2 cdot (x-1)}{x-1} leq 0 \\ frac{x+1}{x-1} + frac{2x-2}{x-1} leq 0 \\ frac{x+1 +2x-2}{x-1} leq 0 \\ frac{3x-1}{x-1} leq 0 \\ (3x-1)(x-1) leq 0 \ 3x - 1 = 0 vee x - 1 = 0 \ 3x = 1 /:3 vee x = 1[/latex] [latex]3x = 1 /:3 vee x = 1 \ x= frac{1}{3} vee x = 1[/latex] Z wykresu (Rys. B - ramiona paraboli skierowane w górę, bo współczynnik przy x² jest dodatni) odczytujemy rozwiązanie: [latex]x in langle frac{1}{3}; 1 angle[/latex] Po uwzględnieniu dziedziny x ≠ 1 otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności: [latex]x in langle frac{1}{3}; 1)[/latex] e) [latex]4^{frac{x+2}{x-1}} leq 2^8[/latex] Dziedzina: x - 1 ≠ 0 x ≠ 1 D: x ∈ R {1} [latex]4^{frac{x+2}{x-1}} leq 2^8 \\ 4^{frac{x+2}{x-1}} leq (2^2)^4 \\ 4^{frac{x+2}{x-1}} leq 4^4 \\ frac{x+2}{x-1} leq 4 \\ frac{x+2}{x-1} - 4 leq 0 \\ frac{x+2}{x-1} - frac{4 cdot (x-1)}{x-1} leq 0 \\ frac{x+2}{x-1} - frac{4x-4}{x-1} leq 0 \\ frac{x + 2 -(4x-4)}{x-1} leq 0 \\ frac{x + 2 -4x+ 4}{x-1} leq 0 \\ frac{-3x+6}{x-1} leq 0 \\ (-3x+6)(x-1) leq 0 \ - 3x + 6 = 0 vee x - 1 = 0 \ -3x = - 6 /:(-3) vee x = 1 \ x = 2 vee x = 1[/latex] Z wykresu (Rys. A - ramiona paraboli skierowane w dół, bo współczynnik przy x² jest ujemny) odczytujemy rozwiązanie: [latex]x in (- infty; 1 angle cup langle 2; + infty)[/latex] Po uwzględnieniu dziedziny x ≠ 1 otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności: [latex]x in (- infty; 1) cup langle 2; + infty)[/latex] f) [latex](frac{3}{7})^{frac{4x-3}{x+2}} geq sqrt[4]{frac{49}{9}}[/latex] Dziedzina: x+2 ≠ 0 x ≠ - 2 D: x ∈ R {- 2} [latex](frac{3}{7})^{frac{4x-3}{x+2}} geq sqrt[4]{frac{49}{9}} \\ (frac{3}{7})^{frac{4x-3}{x+2}} geq (frac{49}{9})^{frac{1}{4}} \\ (frac{3}{7})^{frac{4x-3}{x+2}} geq [(frac{7}{3})^2]^{frac{1}{4}} \\ (frac{3}{7})^{frac{4x-3}{x+2}} geq [(frac{3}{7})^{-2}]^{frac{1}{4}} \\ (frac{3}{7})^{frac{4x-3}{x+2}} geq (frac{3}{7})^{-frac{1}{2}} \\ frac{4x-3}{x+2} leq -frac{1}{2} \\ frac{4x-3}{x+2} +frac{1}{2} leq 0[/latex] [latex]frac{2 cdot (4x-3)}{2 cdot (x+2)} +frac{x+2}{2 cdot (x+ 2)} leq 0 \\ frac{8x-6}{2x+4} +frac{x+2}{2x+4} leq 0 \\ frac{8x - 6 + x+2}{2x+4} leq 0 \\ frac{9x - 4}{2x+4} leq 0 \\ (9x-4)(2x+4) leq 0 \ 9x - 4 = 0 vee 2x +4 = 0 \ 9x = 4 /:9 vee 2x = 4 /:2 \ x = frac{4}{9} vee x = 2[/latex] Z wykresu (Rys. B - ramiona paraboli skierowane w górę, bo współczynnik przy x² jest dodatni) odczytujemy rozwiązanie: [latex]x in langle - 2; frac{4}{9} angle[/latex] Po uwzględnieniu dziedziny x ≠ - 2 otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności: [latex]x in (- 2; frac{4}{9} angle[/latex] ======================= 1.70. a) [latex]2^{x+5}+2^{x+4}+ 5 cdot 2^{x+2} extless 34[/latex] Dziedzina: D: x ∈ R [latex]2^{x+5}+2^{x+4}+ 5 cdot 2^{x+2} extless 34 \\ 2^x cdot 2^5+2^x cdot 2^4+ 5 cdot 2^x cdot 2^2 extless 34 \\ 2^x cdot (2^5+2^4+ 5 cdot 2^2) extless 34 \\ 2^x cdot (32+16+ 20) extless 34 \\ 2^x cdot 68 extless 34 /:68 \\ 2^x extless frac{34}{68} \\ 2^x extless frac{1}{2} \\ 2^x extless 2^{-1} \\ x extless - 1 \\ x in (- infty; - 1)[/latex] b) [latex]frac{4}{3}(frac{2}{3})^{x+2} + frac{4}{9}(frac{2}{3})^{x+1} geq frac{8}{9}[/latex] Dziedzina: D: x ∈ R [latex]frac{4}{3}(frac{2}{3})^{x+2} + frac{4}{9}(frac{2}{3})^{x+1} geq frac{8}{9} \\ frac{4}{3} cdot (frac{2}{3})^x cdot (frac{2}{3})^2 + frac{4}{9} cdot (frac{2}{3})^x cdot frac{2}{3} geq frac{8}{9} \\ (frac{2}{3})^x cdot (frac{4}{3} cdot (frac{2}{3})^2 + frac{4}{9} cdot frac{2}{3}) geq frac{8}{9} \\ (frac{2}{3})^x cdot (frac{4}{3} cdot frac{4}{9} + frac{8}{27}) geq frac{8}{9} \\ (frac{2}{3})^x cdot frac{24}{27} geq frac{8}{9} / cdot (frac{27}{24})[/latex] [latex](frac{2}{3})^x geq frac{3}{3} \\ (frac{2}{3})^x geq 1 \\ (frac{2}{3})^x geq (frac{2}{3})^0 \\ x leq 0 \\ x in (- infty; 0 angle[/latex] c) [latex]3^{3x+1} - 4 cdot 27^{x-1} + 9^{1,5x - 1} extless 80[/latex] Dziedzina: D: x ∈ R [latex]3^{3x+1} - 4 cdot 27^{x-1} + 9^{1,5x - 1} extless 80 \\ 3^{3x} cdot 3^1 - 4 cdot 27^x cdot 27^{-1} + 9^{1,5x} cdot 9^{-1} extless 80 \\ 3^{3x} cdot 3 - 4 cdot (3^3)^x cdot frac{1}{27} + (3^2)^{1,5x} cdot frac{1}{9} extless 80 \\ 3^{3x} cdot 3 - 3^{3x} cdot frac{4}{27} + 3^{3x} cdot frac{1}{9} extless 80 \\ 3^{3x} cdot (3 - frac{4}{27} +frac{1}{9}) extless 80 \\ 3^{3x} cdot (frac{81}{27}-frac{4}{27} +frac{3}{27}) extless 80 \\ 3^{3x} cdot frac{80}{27} extless 80 / cdot frac{27}{80}[/latex] [latex]3^{3x} extless 27 \\ 3^{3x} extless 3^3 \\ 3x extless 3 /: 3 \\ x extless 1 \\ x in (- infty; 1)[/latex] d) [latex](0,4)^{x+3} + (2,5)^{-x -2} extless 3,5[/latex] Dziedzina: D: x ∈ R [latex](0,4)^{x+3} + (2,5)^{-x -2} extless 3,5 \\ (frac{4}{10})^{x+3} + (frac{25}{10})^{-(x+2)} extless frac{35}{10} \\ (frac{2}{5})^{x+3} + [(frac{5}{2})^{-1}]^{x+2} extless frac{7}{2} \\ (frac{2}{5})^1 cdot (frac{2}{5})^{x+2} + (frac{2}{5})^{x+2} extless frac{7}{2}[/latex] [latex](frac{2}{5})^{x+2} cdot (frac{2}{5}+1) extless frac{7}{2}\\ (frac{2}{5})^{x+2} cdot (frac{2}{5} + frac{5}{5}) extless frac{7}{2} \\ (frac{2}{5})^{x+2} cdot frac{7}{5} extless frac{7}{2} / cdot frac{5}{7} \\ (frac{2}{5})^{x+2} extless frac{5}{2} \\ (frac{2}{5})^{x+2} extless (frac{2}{5})^{-1} \\ x + 2 extgreater -1 \\ x extgreater - 1 - 2 \\ x extgreater - 3 \\ x in (-3; + infty)[/latex]