Proszę o rozwiązanie zadania zamkniętego maturalnego z załącznika i wytłumaczenie mi, jak to się liczy.

W tablicach jest wzór gdzie [latex] sqrt{a^2}=|a|[/latex] Dlatego: [latex] sqrt{(x+5)^2} - sqrt{(x-5)^2} = |x+5|-|x-5|[/latex] Przedział to (-∞,-5) czyli x<-5 Piszesz: [latex]y=|x+5|-|x-5|[/latex] wybierasz obojętnie jaką liczbę z przedziału i podstawiając z x patrzysz czy w wartościach bezwzględnych będzie ujemna liczba jeśli będzie to zmieniasz  nich znaki. Wybiorę np. -6 gdy podstawię za x to i w jednym i w drugim przypadku wyjdzie ujemna wartość czyli przepisuję z przeciwnymi znakami: [latex]y=-x-5-(-x+5)=-10[/latex]

Korzystamy z jednego z działań na pierwiastkach:     [latex]sqrt{x^2}=|x|[/latex] ("skracając" potęgę z pierwiastkiem nie możemy wpisać samego x, bo może być ono dodatnie lub ujemne, stąd wartość bezwzględna} oraz z definicji wartości bezwzględnej:   [latex]|x|=egin{cases}xqquad dla xgeq0\-xquad dla x extless 0 end{cases}[/latex] Oba te zapisy pozostają prawdziwe jeżeli zamiast  x wstawimy jakieś wyrażenie Czyli:            [latex]sqrt{(x+5)^2}=|x+5|\\|x+5|=egin{cases}x+5qquadquad dla x+5geq0\-(x+5)quad dla x+5 extless 0 end{cases}[/latex] oraz:            [latex]sqrt{(x-5)^2}=|x-5|qquadqquadqquad\\|x-5|=egin{cases}x-5qquadquad dla x-5geq0\-(x-5)quad dla x-5 extless 0 end{cases}[/latex] Wyliczając przedziały z zapisanych warunków otrzymamy:            [latex]|x+5|=egin{cases}x+5qquadquad dla xgeq-5\-(x+5)quad dla x extless -5 end{cases}\\|x-5|=egin{cases}x-5qquadquad dla xgeq5\-(x-5)quad dla x extless 5 end{cases}[/latex] Czyli:            [latex]|x+5|=egin{cases}x+5qquadquad dla xinlangle-5;infty)\-(x+5)quad dla xin(-infty;-5) end{cases}\\|x-5|=egin{cases}x-5qquadquad dla xinlangle 5;infty)\-(x-5)quad dla xin(-infty;5) end{cases}[/latex] Jak widać dla x∈(-∞;-5) oba wyrażenia przy opuszczaniu wartości bezwzględnej będą zmieniały znak na przeciwny. Stąd:           [latex]sqrt{(x+5)^2}-sqrt{(x-5)^2}=\\=|x+5|-|x-5|=\\=-(x+5)-[-(x-5)]=\\ =-x-5+(x-5)=\\=-x-5+x-5=\\=-10[/latex] {W przypadku zadań zamkniętych można zastosować sposób z podstawianiem jakiejś wartości z podanego przedziału. x∈(-∞;-5), więc możemy podstawić jakąkolwiek liczbę mniejszą od -5, np. -6,-8,-15, itd - wynik zawsze wyjdzie taki sam: [latex]x=-6\ sqrt{(-6+5)^2}-sqrt{(-6-5)^2}= sqrt{1}-sqrt{121}=1-11=-10 \\x=-15\ sqrt{(-15+5)^2}-sqrt{(-15-5)^2}= sqrt{100}-sqrt{400}=10-20=-10 [/latex] Odradzam używanie tej metody w zadaniach otwartych:), bo świadczy o nieznajomości definicji wartości bezwzględnej}