Zad. 15 Odcinek OC (promień koła) jest prostopadły do AB - własność stycznej do okręgu (patrz załącznik) Odcinek OC jest zarówno promieniem koła, jak i wysokością trójkąta ABC Jeśli policzymy wysokość trójkąta, to będziemy mieli w ten sposób promień koła [latex]P=frac{acdot b}2, OC=r = ?\ P=frac{ABcdot OC}2\ 45=frac{18cdot OC}2 |cdot2\ 90=18cdot OC |:18\ 5=OC o oxed{r=5}[/latex] Zad. 16 sprawdzamy po kolei odpowiedzi i patrzymy czy się zgadza: odp. A jeśli wykreślimy 29 to mamy sumę: -19+31-11=1 Suma wynosi 1, więc odp. A jest prawidłowa Zad. 17 Obliczam procent grusz: 100% - 52% - 14% - 10% = 24 % Obliczam ilość grusz przyjmując, że 50 drzew to 100% [latex]50 - 100\%\ x - 24\%\ xcdot100=50cdot24\ 100x=1200 |:100\ x=12[/latex] Obliczam ilość śliw przyjmując, że 50 drzew to 100% [latex]50 - 100\%\ y - 14\%\ ycdot100=50cdot14\ 100y=700 |:100\ y=7[/latex] 12 - liczba grusz 7 - liczba śliw 12 - 7 = 5 Odp. D Zad. 18 Można rozwiązać każdy układ równań, ale to pracochłonna metoda. Lepiej podstawiać od razu x=1 i y=1 do obu równań i patrzeć, w którym przypadku (A, B, C czy D) nie otrzymamy równości prawdziwej - wtedy zaznaczymy daną odp. Sprawdzamy A [latex] left { {{x+y-2=0} atop {2-x-y=0}} ight. \ left { {{1+1-2=0} atop {2-1-1=0}} ight. \ left { {{0=0} atop {0=0}} ight. [/latex] Obie równości są prawdziwe - więc para liczb (1,1) jest rozwiązaniem tego układu, więc A odpada Sprawdzamy B [latex] left { {{x+2=3y} atop {2=x+y}} ight. \ left { {{1+2=3cdot1} atop {2=1+1}} ight.\ left { {{3=3} atop {2=2}} ight.[/latex] Obie równości prawdziwe, więc para (1,1) jest rozwiązaniem układu, więc B odpada Sprawdzamy C [latex] left { {{x+y=1} atop {x-y=0}} ight. \ left { {{1+1=1} atop {1-1=0}} ight.\ left { {{2=1} atop {0=0}} ight.[/latex] Pierwsze równanie to głupota - oznacza to że para liczb (1,1) nie jest rozwiązaniem tego układu Zatem w tym zadaniu odp. C jest prawidłowa Zad. 19 Wysokość ostrosłupa jest równa wysokości sześcianu (patrz załącznik) Wysokość sześcianu jest równa 6 Pola podstaw: sześcianu i ostrosłupa są takie same [latex]P_p=6cdot6=36\ H=6[/latex] Obliczamy objętość ostrosłupa [latex]V=frac13cdot P_pcdot H\ V=frac13cdot36cdot6\ V=72 o odp. oxed B[/latex] Zad. 20 Bok GC kwadratu ABCG jest podstawą równoległoboku GCDF, więc [latex]GC=a[/latex] Bok FH kwadratu HCEF jest wysokością równoległoboku GCDF, więc [latex]FH=h[/latex] Obliczam bok kwadratu ABCG [latex]P_{ABCG}=a^2\ 49=a^2\ a=7[/latex] Obliczam bok kwadratu HCEF [latex]P_{HCEF}=h^2\ 16=h^2\ h=4[/latex] Obliczam pole równoległoboku GCDF [latex]P_{GCDF}=acdot h\ P_{GCDF}=7cdot4\ P_{GCDF}=28 o odp. oxed D[/latex] Zad. 21 Z tw. Pitagorasa w trójkącie CFE: [latex]CF^2+FE^2=CE^2\ 16^2+FE^2=20^2\ 256+FE^2=400\ FE^2=400-256\ FE^2=144\ FE=sqrt{144} o FE=12[/latex] Z tw. Pitagorasa w trójkącie EDB: [latex]ED^2+DE^2=EB^2\ ED^2+9^2=15^2\ ED^2+81=225\ ED^2=225-81\ ED^2=144\ ED=sqrt{144} o ED=12[/latex] W prostokącie ADEF sąsiednie boki, ED i FE, są równej długości - stąd wynika że prostokąt ADEF jest kwadratem. Zad. 22 [latex]x[/latex] - wiek Asi [latex]x-6[/latex] - wiek Wojtka [latex]frac{(x) + (x-6)}2[/latex] - średnia arytmetyczna wieku Asi i Wojtka [latex]125\%cdot(x-6)[/latex] - 125 % wieku Wojtka [latex]frac{(x)+(x-6)}2=125\%cdot(x-6)\ frac{2x-6}2=frac{125}{100}cdot(x-6)\ frac{2(x-3)}2=frac54(x-6)\ x-3=frac54x-frac{30}4\ x-frac54x=-frac{30}4+frac54\ frac44x-frac54x=-frac{25}4\ -frac14x=-frac{25}4 |cdot(-4)\ x=25 o wiek Asi[/latex] [latex]frac{(x)+(x-6)}2=frac{(25)+(25-6)}2=frac{25+19}2=frac{44}2=22 o srednia[/latex] Jakim procentem wieku Asi jest średnia więc wielkością odniesienia jest wiek Asi (wiek Asi to 100%, a średnia to x %) [latex]25 - 100\%\ 22 - x\%\ 22cdot100=25cdot x\ 2200=25x |:25\ oxed{x=88}[/latex] Średnia jest 88 procentem wieku Asi Zad. 23 (rysunek w załączniku) [latex]P_p[/latex] - pole jednej podstawy [latex]P_b[/latex] - pole jednej ściany bocznej [latex]3P_b[/latex] - pole powierzchni bocznej - trójka dlatego że mamy 3 ściany boczne Obliczam pole jednej podstawy (trójkąt równoboczny o boku a=10) [latex]P_p=frac{a^2cdotsqrt3}4[/latex] [latex]P_p=frac{100cdotsqrt3}4\ P_p=25sqrt3[/latex] Obliczam pole powierzchni bocznej: [latex]3P_b=P_p+125sqrt3\ 3P_b=25sqrt3+125sqrt3\ 3P_b=150sqrt3[/latex] Obliczam pole jednej ściany bocznej: [latex]3P_b=150sqrt3 |:3\ P_b=50sqrt3[/latex] Ściana boczna jest prostokątem o bokach a=10 oraz H=?, obliczam H [latex]P_b=acdot H\ 50sqrt 3=10cdot H\ 10H=50sqrt3 |:10\ H=5sqrt3[/latex] Obliczam objętość graniastosłupa: [latex]V=P_pcdot H\ V=25sqrt3cdot5sqrt3\ V=25cdot5cdotsqrt3cdotsqrt3\ V=125cdot3=oxed{375} cm^3[/latex]
