Zad. 1. [latex]frac{2x+1}{x^2+6x+9} + frac{x-1}{9-x^2} =0[/latex] Dziedzina: [latex]x^2+6x+9 eq 0 wedge 9-x^2 eq 0 \ (x + 3)^2 eq 0 wedge (3-x)(3+x) eq 0 \ x + 3 eq 0 wedge 3-x eq 0 wedge 3+x eq 0 \ x eq -3 wedge x eq 3 wedge x eq-3 \ x eq -3 wedge x eq 3 \\ D: x in R setminus {-3, 3 }[/latex] [latex]frac{2x+1}{x^2+6x+9} + frac{x-1}{9-x^2} =0 \\ frac{2x+1}{(x+3)^2} + frac{x-1}{(3 -x)(3+x)} =0 / cdot (x+3)^2(3-x) \\ (2x+1)(3-x) +(x-1)(x+3)=0 \\ 6x - 2x^2+3-x+x^2+3x-x-3=0 \\ -x^2+7x =0 \\ -x cdot (x - 7) = 0 \\ -x = 0 / cdot (-1) vee x -7 = 0 \\ x = 0 in D vee x = 7 in D \\ x = 0 vee x = 7[/latex] Odp. x = 0 lub x = 7. ====== [latex]frac{x}{x+2}- frac{1}{2-x} = frac{4}{x^2-4}[/latex] Dziedzina: [latex]x+2 eq 0 wedge 2-x eq 0 wedge x^2-4 eq 0 \ x eq -2 wedge -x eq -2 / cdot (-1) wedge (x - 2)(x+2) eq 0 \ x eq -2 wedge x eq 2 wedge x - 2 eq 0 wedge x+2 eq 0 \ x eq -2 wedge x eq 2 wedge x eq 2 wedge x eq -2 \ x eq -2 wedge x eq 2 \\ D: x in R setminus {-2, 2 }[/latex] [latex]frac{x}{x+2}- frac{1}{2-x} = frac{4}{x^2-4} \\ frac{x}{x+2}+frac{1}{x-2} = frac{4}{(x-2)(x+2)} / cdot (x-2)(x+2) \\ x cdot (x-2) + 1 cdot (x+2)= 4 \\ x^2 -2x + x + 2 - 4 = 0 \\ x^2 - x - 2 = 0 \\ Delta = (-1)^2 - 4 cdot 1 cdot (-2) = 1 + 8 = 9; sqrt{Delta} = sqrt{9} =3 \\ x_1= frac{-(-1) -3}{2 cdot 1} = frac{1 - 3}{2} = frac{-2}{2} = - 1 in D \\ x_2= frac{-(-1) +3}{2 cdot 1} = frac{1 + 3}{2} = frac{4}{2} = 2 otin D \\ x = -1[/latex] Odp. x = - 1. ========== Zad. 2. [latex]left { {{y= frac{3}{x}} atop {y=x+2}} ight.[/latex] Dziedzina: [latex]x eq 0 \\ D: x in R setminus { 0 }[/latex] Metoda algebraiczna: [latex]underline{left { {{y= frac{3}{x}} atop {y=x+2}} ight.} \\ y - y = frac{3}{x} -(x+2) \\ frac{3}{x} -(x+2) = 0 / cdot x \\ 3 - (x+2) cdot x = 0 \\ 3 - (x^2 + 2x) = 0 \\ 3 - x^2 - 2x = 0 \\ -x^2 - 2x + 3 = 0 \\ Delta = (-2)^2 - 4 cdot (-1) cdot 3 = 4 + 12 = 16; sqrt{Delta} = sqrt{16}=4 \\ x_1 = frac{-(-2) - 4}{2 cdot (-1)} = frac{2 - 4}{-2} = frac{-2}{-2} = 1 in D \\ x_2 = frac{-(-2) + 4}{2 cdot (-1)} = frac{2 + 4}{-2} = frac{6}{-2} = -3 in D[/latex] [latex]left { {{x=1} atop {y=x+2}} ight. vee left { {{x=-3} atop {y=x+2}} ight. \\ left { {{x=1} atop {y=1+2}} ight. vee left { {{x=-3} atop {y=-3+2}} ight. \\ left { {{x=1} atop {y=3}} ight. vee left { {{x=-3} atop {y=-1}} ight.[/latex] Odp. (x, y) = (-3, -1) lub (x, y) = (1, 3). Metoda graficzna: [latex]left { {{y= frac{3}{x}} atop {y=x+2}} ight.[/latex] Musimy narysować wykresy obu funkcji w jednym układzie współrzędnych i odczytać rozwiązanie. Wykresem funkcji [latex]y= frac{3}{x}[/latex] jest hiperbola, więc sporządzimy tabelkę (zał. 1 A), otrzymane punkty nanosimy na układ współrzędnych i rysujemy wykres. Wykresem funkcji [latex]y=x +2[/latex] jest prosta przechodząca przez punkty: x = 0 → y = 0 + 2 = 2, czyli punkt (0, 2), x = 1 → y = 1 + 2 = 3, czyli punkt (1, 3), otrzymane punkty nanosimy na układ współrzędnych i rysujemy wykres. Wykresy - zał. 2 A Rozwiązaniem układu równań będą współrzędne punktów należących do obu wykresów funkcji: (-3, -1); (1, 3). Odp. (x, y) = (-3, -1) lub (x, y) = (1, 3). ===== [latex]left { {{y= frac{-x-1}{x+3}} atop {y=2x+5}} ight.[/latex] Dziedzina: [latex]x+3 eq 0 \ x eq - 3 \\ D: x in R setminus {-3 }[/latex] Metoda algebraiczna: [latex]underline{left { {{y= frac{-x-1}{x+3}} atop {y=2x+5}} ight.} \\ y - y = frac{-x-1}{x+3} - (2x + 5) \\ frac{-x-1}{x+3} - (2x + 5) = 0 / cdot (x + 3) \\ -x-1 - (2x+5)(x+3) = 0 \\ -x-1 -(2x^2+ 6x + 5x + 15) = 0 \\ -x-1 -(2x^2+11x+15) = 0 \\ -x-1 -2x^2 - 11x - 15 = 0 \\ -2x^2 -12x - 16 = 0 \\ Delta =(-12)^2 - 4 cdot (- 2) cdot (-16) = 144 -128 = 16; sqrt{Delta}=sqrt{16} = 4 \\ x_1= frac{-(-12) - 4}{2 cdot (-2)} = frac{12 - 4}{-4}= frac{8}{-4} = -2 in D[/latex] [latex]x_2= frac{-(-12) + 4}{2 cdot (-2)} = frac{12 +4}{-4}= frac{16}{-4} = -4 in D[/latex] [latex]left { {{x=-2} atop {y=2x+5}} ight. vee left { {{x=-4} atop {y=2x+5}} ight. \\ left { {{x=-2} atop {y=2 cdot (-2)+5}} ight. vee left { {{x=-4} atop {y=2 cdot (-4) + 5}} ight. \\ left { {{x=-2} atop {y=-4+5}} ight. vee left { {{x=-4} atop {y=-8+ 5}} ight. \\ left { {{x=-2} atop {y=1}} ight. vee left { {{x=-4} atop {y=-3}} ight.[/latex] Odp. (x, y) = (-4, -3) lub (x, y) = (-2, 1). Metoda graficzna: [latex]left { {{y= frac{-x-1}{x+3}} atop {y=2x+5}} ight.[/latex] Musimy narysować wykresy obu funkcji w jednym układzie współrzędnych i odczytać rozwiązanie. Wykresem funkcji [latex]y= frac{-x-1}{x+3}[/latex] jest hiperbola, jednak aby narysować ten wykres musimy przekształcić wzór naszej funkcji do postaci: [latex]y = frac{a}{x-p} +q[/latex], bo wtedy wykres tej funkcji otrzymamy przez przesunięcie wykresu funkcji: [latex]y = frac{a}{x}[/latex] o wektor: [latex]vec{v} = [p; q][/latex] Stąd: [latex]y= frac{-x-1}{x+3} = frac{-(x+3)+3-1}{x+3}= frac{-(x+3)+2}{x+3} =frac{-(x+3)}{x+3} +frac{2}{x+3} = \\ =-1+frac{2}{x+3} =frac{2}{x+3} - 1[/latex] Zatem wykres: [latex]y = frac{-x-1}{x+3}= frac{2}{x+3}-1[/latex] otrzymamy przez przesunięcie wykresu funkcji: [latex]y = frac{2}{x}[/latex] o wektor: [latex]vec{v} = [-3; -1][/latex] (przesunięcie o 3 jednostki w lewo i 1 jednostkę w dół) Sporządzimy tabelkę dla funkcji: [latex]y = frac{2}{x}[/latex] (zał. 1 B), otrzymane punkty nanosimy na układ współrzędnych i rysujemy wykres, a następnie przesuwamy go o wektor: [latex]vec{v} = [-3; -1][/latex] o otrzymujemy wykres funkcji: [latex]y= frac{-x-1}{x+3}[/latex] Wykresem funkcji [latex]y=2x +5[/latex] jest prosta przechodząca przez punkty: x = 0 → y = 2 · 0 + 5 = 0 + 5 = 5, czyli punkt (0, 5), x = 1 → y = 2 · 1 + 5 = 2 + 5 = 7, czyli punkt (1, 7), otrzymane punkty nanosimy na układ współrzędnych i rysujemy wykres. Wykresy - zał. 2 B Rozwiązaniem układu równań będą współrzędne punktów należących do obu wykresów funkcji: (-4, -3); (-2, 1). Odp. (x, y) = (-4, -3) lub (x, y) = (-2, 1).
