Mamy równość do sprawdzenia: [latex]dfrac{1+cos alpha}{sin alpha}=ctg frac{alpha}{2}[/latex] Najpierw musi ona mieć sens, zatem: [latex]sin alpha ot=0 Leftrightarrow x ot=kpi[/latex] gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą oraz: wiemy, że [latex]ctgfrac{alpha}{2}=dfrac{cosfrac{alpha}{2}}{sinfrac{alpha}{2}}[/latex], zatem: [latex]sinfrac{alpha}{2} ot=0Leftrightarrow frac{alpha}{2} ot=kpi Leftrightarrow alpha ot=2kpi[/latex] gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą Spełnienie warunku pierwszego implikuje spełnienie warunku drugiego, zatem możemy zapisać [latex]alpha ot=kpi[/latex] gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą. Zajmijmy się teraz równością: [latex]dfrac{1+cos alpha}{sin alpha}=ctg frac{alpha}{2}\ dfrac{1+cos alpha}{sin alpha}=dfrac{cos frac{alpha}{2}}{sin frac{alpha}{2}}[/latex] Piszanie ułamka w ułamku jest niewygodne, zatem możemy sobie wprowadzić pewne podstawienie: [latex]frac{alpha}{2}=t\ t ot=kpi[/latex] gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą Wtedy: [latex]dfrac{1+cos 2t}{sin 2t}=dfrac{cos t}{sin t}\ dfrac{1+1-2sin^2t}{2sin t cos t}=dfrac{cos t}{sin t} \ dfrac{2(1-sin^2t)}{2sin t cos t}=dfrac{cos t}{sin t}\ dfrac{1-sin^2t}{sin t cos t}=dfrac{cos t}{sin t} vert cdot sin t cos t ot=0\ 1-sin^2t= cos^2t\ 1=sin^2t+cos^2t\ 1=1[/latex] Wobec czego rozważana równość jest tożsamością trygonometryczną.
