Rozwiąż równanie [latex] frac{log ( sqrt{x - 1} +1) }{log( sqrt{x - 1} +7)} = frac{1}{2} [/latex] Odpowiedz: 5

Zaczynamy od dziedziny. Jako, że [latex]sqrt{x-1}geq0[/latex] pomijam zastrzeżenie, że wyrażenie logarytmowane musi być dodatnie. Mianownik też nie będzie zerowy. Zostaje mi tylko zastrzeżenie do wyrażenia pod pierwiastkiem: x - 1 ≥ 0 → x ≥ 1. [latex]D:xin < 1; infty)[/latex] Jako, że mamy równanie w postaci proporcji, mnożymy na krzyż: [latex]dfrac{log(sqrt{x-1}+1)}{log(sqrt{x-1}+7)}=dfrac{1}{2}\\2log(sqrt{x-1}+1)=log(sqrt{x-1}+7)[/latex] Skorzystamy z twierdzenia: [latex]nlog_ab=log_ab^n[/latex] [latex]log(sqrt{x-1}+1)^2=log(sqrt{x-1}+7)[/latex] Aby mniej pisać, zróbmy podstawienie: [latex]sqrt{x-1}=tgeq0[/latex] Otrzymujemy równanie postaci: [latex]log(t+1)^2=log(t+7)[/latex] Funkcja logarytmiczna jest funkcją różnowartościową, także możemy opuścić znak logarytmu: [latex](t+1)^2=t+7\\t^2+2t+1=t+7\\t^2+2t-t+1-7=0\\t^2+t-6=0\\t^2+3t-2t-6=0\\t(t+3)-2(t+3)=0\\(t+3)(t-2)=0iff t+3=0 vee t-2=0\\t=-3 < 0 vee t=2[/latex] Wracamy do podstawienia: [latex]sqrt{x-1}=2 |^2\\x-1=4\\x=4+1\\oxed{x=5}in D[/latex] Sprawdzenie: [latex]L=dfrac{log(sqrt{5-1}+1)}{log(sqrt{5-1}+7)}=dfrac{log(sqrt4+1)}{log(sqrt4+7)}=dfrac{log(2+1)}{log(2+7)}\\=dfrac{log3}{log9}=dfrac{log3}{log3^2}=dfrac{log3}{2log3}=dfrac{1}{2}=P[/latex]