Zad. 1. 18 podstawiamy za an we wzorze ogólnym, z czego mamy: n^2-7n = 18 - powstało równanie kwadratowe, które trzeba rozwiązać. n^2-7n - 18 = 0 delta = (-7)^2 - 4*1*(-18) = 121 >0 => są dwa rozwiązania; pierwiastek z delty = 11 n1 = (7-11)/2*1 = -2 <0 - odrzucamy to rozwiązanie, ponieważ n (numer wyrazu w ciągu) nie może być ujemne, n2 = (7+11)/2*1 = 9 Odp.: Dziewiąty wyraz danego ciągu jest równy 18.
1. Sprawdzam który wyraz jest równy 18 rozwiązując równanie kwadratowe i pamiętając, że liczba n jest liczbą naturalną dodatnią: [latex]18=n^2-7n\n^2-7n-18=0\ Delta=49+4*18=121\ sqrtDelta=11 \n=frac{7+11}2=9vee n=frac{7-11}2=-2\ nin mathbb{N}_+[/latex] Stąd: [latex]n=9[/latex], więc 9. wyraz ciągu jest równy 18. 2. Najpierw liczę [latex]a_{n+1}[/latex], a potem, wykorzystując definicję ciągu geometrycznego, dzielę [latex]a_{n+1}[/latex] przez [latex]a_{n}[/latex]. Jeśli wynik dzielenia będzie stałą, to jest to ciąg geometryczny. Jeśli zostanie zmienna n, to nie jest. [latex]a_{n+1}=frac{4(n+1)}{5}=frac{4n+4}5\\ frac{a_{n+1}}{a_n}=frac{4n+4}5 :frac{4n}5= frac{4n+4}5 *frac{5}{4n}=1+frac{1}n[/latex] Mamy zmienną n, zatem ciąg nie jest geometryczny. 3. Z wzoru ogólnego ciągu geometrycznego: [latex]a_3=a_1*q^2[/latex] Podstawiam i liczę q: [latex]80=5*q^2\q^2=16\q=4 vee q=-4[/latex] Jeśli ciąg jest rosnący, to q=4, a jeśli niemonotoniczny, to q=-4
