Dane: r=2 [m] - średnica kłębka sznurka L = ? - długość tego sznurka. ---------- Założenia upraszczające: 1. Kłębek ma kształt kuli, 2. Sznurek zwinięto w kłębek tak ściśle, że wypełnia on kłębek całkowicie bez pozostawienia wolnych przestrzeni powietrza. Kłębek wypełnia więc wyłącznie sznurek. To nie jest prawdą, ale w pierwszym podejściu przyjmijmy właśnie takie założenie. 3. Ponieważ nie podano średnicy sznurka, muszę ją więc przyjąć. Niech to będzie np. d=3 [mm]=3·10⁻³[m]. Idea rozwiązania tego zagadnienia sprowadza się do tego, żeby cały kłębek (geometrycznie jest to kula) przekształcić w walec o długości L i średnicy d (którym jest rozprostowany sznurek). Obie bryły muszą mieć tę samą masę a więc i objętość. Wobec tego jeśli: V₁=4·π·r³/3 - objętość kłębka (geometrycznie kuli) sznurka V₂=π·d²·L/4 - objętość rozprostowanego sznurka (geometrycznie walca) oraz jeśli V₁=V₂. to: 4·π·r³/3=π·d²·L/4 /·4/(π·d²) L=4·4·r³/(d²) = 16·r³/(d²) = 16·2³/((3·10⁻³)²)=16·8·10⁶/9=14·10⁶ [m]= = 14·10³ [km] = 14 tys. km Gdyby przyjąć, że sznurek ma np. d=5 [mm] średnicy, co już raczej wpada w definicję cienkiej liny (czyli linki), to otrzymamy: L=4·4·r³/(d²) = 16·r³/(d²) = 16·2³/((5·10⁻³)²)=16·8·10⁶/25=5·10⁶ [m]= = 5·10³ [km] = 5 tys. km Ponieważ chodzi tu o oszacowanie najbliższego "rzędu wielkości", więc jeśli przyjmiemy wartość jakąś pośrednią np. 10·10³ [km] to otrzymamy właściwą odpowiedź. W związku z tym L=10⁴ [km] czyli ok. 10 tys. km Spróbujmy teraz oszacować ile taki kłębek będzie zawierał powietrza. Przeanalizujemy sznurek w przekroju poprzecznym. Załóżmy, że ma on postać okręgu. Jeśli a tym okręgu opiszemy kwadrat, to będzie miał on bok o długości (d). 4 fragment kwadratu pozostałe po wycięciu kwadratu okręgiem o średnicy (d) odpowiadają ilości powietrza zawartego w kłębku sznurka. Ilość ta będzie proporcjonalna do stosunku (s) pola kwadratu o boku d do pola tego samego kwadratu pomniejszonego o pole okręgu o średnicy (d). Zapiszemy to tak: s=A₁/(A₁-A), gdzie A - pole przekroju poprzecznego sznurka, a A₁ - pole przekroju kwadratu na nim opisanego. Wobec tego objętość kłębka (kuli) sznurka należy proporcjonalnie pomniejszyć o objętość ilości powietrza, którą kłębek zawiera, żeby uzyskać ilość "substancji" którą odwiniemy do postaci rozprostowanego sznurka, czyli: V₁=V₂·(A₁-A)/A₁=V₂·(d²-πd²/4)/(d²) 4·π·r³/3 = L·πd²/4·(d²-πd²/4)/(d²) = L·πd²·(1-π/4)/4 4·r³/3 = Ld²·(1-π/4)/4 = Ld²·(4-π) /(d²·(4-π)) L=4·r³/(3·d²(4-π))=4·2³/(3·(3·10⁻³)²·(4-π))=4·8/(3·9·0,86·10⁻⁶)=32·10⁶/(27·0,86)= 0,94·10³ [m]=940 [km] Omówienie wyniku: Warto zauważyć, że to przypadek najmniej korzystnego zwinięcia sznurka ponieważ jest to kłębek zawierający największą możliwą ilość powietrza. Realistycznie rzecz oceniając, sznurek upakuje się z pewnością gęściej. Pomimo tego w tym przypadku długość sznurka jest rzędu 1 tys. km. Przy założeniu braku powietrza w kłębku, długość sznurka była 14 razy większa (czyli 14 tys. km). 14 tys. i 1 tys. różnią się właściwie o jeden rząd wielkości. Długość sznurka więc (biorąc pod uwagę różne niepewności) należy przyjąć na poziomie kilku tysięcy km. Będą to więc raczej tysiące kilometrów.
