1. Uzasadnij, że różnica sześcianów dwóch liczb całkowitych różniących się o 3 jest podzielna przez 9 2.Udowodnij, że wyrażenie (n+4)^2+(3n-4) (3n+4)+2n dla naturalnych n jest podzielna przez 10 3.Wykaż że liczba 5^2015+5^2016+5^2017 jest podzielna prze

1. [latex]x; x+3-dane liczby (xinmathbb{C})\\x^3-(x+3)^3 ma by.c podzielne przez 9.\\Korzystamy ze wzoru:\\(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\x^3-(x+3)^3=x^3-(x^3+3x^2cdot3+3xcdot3^2+3^3)\\=x^3-x^3-9x^2-27x-27=-9x^2-27x-27\\=-9(x^2+3x+3)[/latex] W iloczynie występuje liczba 9, zatem cała liczba jest podzielna przez 9. 2. [latex](n+4)^2+(3n-4)(3n+4)+2n\\skorzystamy ze wzor.ow\\(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\(a-b)(a+b)=a^2-b^2\\=n^2+2ncdot4+4^2+(3n)^2-4^2+2n\=n^2+8n+16+9n^2-16+2n\=10n^2+10n=10(n^2+n)[/latex] W iloczynie występuje liczba 10, zatem cała liczba jest podzielna przez 10. 3. [latex]5^{2015}+5^{2016}+5^{2017}=5^{2015}+5^{2015+1}+5^{2015+2}\\=5^{2015}+5cdot5^{2015}+5^2cdot5^{2015}=5^{2015}cdot(1+5+25)\\=31cdot5^{2015}[/latex] W iloczynie występuje liczba 31, zatem cała liczba jest podzielna przez 31.