Zad. 1.
Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki jeśli Δ>0
[latex]x^2+(m+1)x+m+3=0quadimpliesquad a=1, b=m+1, c=m+3\\ Delta=b^2-4ac=(m+1)^2-4cdot1cdot(m+3)=m^2+2m+1-4m-12\\ Delta=m^2-2m-11qquadwedgeqquad Delta extgreater 0\\ m^2-2m-11 extgreater 0\ Delta_m=(-2)^2-4cdot1cdot(-11)=4+44=48\sqrt{Delta_m}=sqrt{48}=4sqrt3\\ m_1=frac{2-4sqrt3}{2}=1-2sqrt3\m_2=frac{2+4sqrt3}{2}=1 +2sqrt3\\m_1 extless m_2\\underline{min(-infty ; 1-2sqrt3)cup(1+2sqrt3 ; infty)}[/latex]
Zad. 2.
Jeśli wykres funkcji y=ax+b przechodzi przez punkt A=(x₀ ; y₀), to prawdziwe jest równanie y₀=ax₀+b
Mamy współrzędne dwóch punktów, więc będą dwa równania, które muszą być spełnione jednocześnie, więc mamy układ równań:
[latex] left { {ig{-4=a(-5)+bqquadqquad} atop ig{2=a(-2)+bquad/cdot(-1)}}
ight. \\ underline{left { {ig{-4=-5a+b} atop ig{-2=2a-b }}
ight. }\~ -6=-3aquad/:(-3)\~qquad a=2\\-2=2cdot2-b\-6=-b\~ b=6\\prosta AB:qquad y=2x+6[/latex]
Współczynniki prostych prostopadłych spełniają warunek: a·a₁=-1
Czyli:
[latex]a_{_{AB}}}cdot a_{_C}}=-1\\2cdot a_{_C}}=-1qquad/:2\\a_{_C}}=-frac12[/latex]
Prosta ma przechodzić przez C=(2;1) i mieć współczynnik kierunkowy =-¹/₂
Czyli:
[latex]1=-frac12cdot2+b\1=-1+b\b=2[/latex]
Prosta przechodząca przez C i prostopadła do AB:
[latex]y=-frac12x+2[/latex]
Zad. 3.
Równanie okręgu to: [latex](x-a)^2+(y-b)^2=r^2[/latex]
gdzie "a" i "b" to współrzędne środka okręgu, a "r" to jego promień.
Wystarczy przekształcić dane równanie do takiej postaci
(uzupełniając wyrażenia z "x" i z "y" do wzorów skróconego mnożenia - oczywiście jeśli coś dodajemy to musimy to odjąć, żeby całość się nie zmieniła)
[latex]x^2+y^2+12x-2y+17=0\\x^2+12x+y^2-2y+17=0 \\underline{x^2+12x+36}-36+underline{y^2-2y+1}-1+17=0\\ (x+6)^2+(y-1)^2-37+17=0\\ (x+6)^2+(y-1)^2=20\\ (x+6)^2+(y-1)^2=(2sqrt5)^2\\a=-6, b=1, r=2sqrt5[/latex]
Czyli jest to okrąg o środku w puncie O=(-6;1) i promieniu r=2√5
Zad. 4.
Wyrazy ciągu geometrycznego spełniają warunek: a₂²=a₁·a₃
[latex]a_1=-16\a_2=2x+4\a_3=-8\\ (2x+4)^2=-16cdot(-8)\\4x^2+16x+16=128\\4x^2+16x-112=0qquad/:4\\x^2+4x-28=0\\Delta=4^2-4cdot1cdot(-28)=16+112=128\sqrt{Delta}=sqrt{128}=8sqrt2\\x_1=frac{-4-8sqrt2}{2}=-2-4sqrt2qquadqquad x_2=frac{-4+8sqrt2}{2}=-2+4sqrt2\\a_{2_1}=2(-2-4sqrt2)+4=-8sqrt2\\a_{2_2}=2(-2+4sqrt2)+4=8sqrt2\\\q=frac{a_2}{a_1}\\q_1=frac{-8sqrt2}{-16}=frac{sqrt2}2qquadqquadqquad q_2=frac{8sqrt2}{-16}=-frac{sqrt2}2[/latex]
[latex]S_n=a_1cdotfrac{1-q^n}{1-q}[/latex]
[latex]S_{5_1}=-16cdotdfrac{1-(frac{sqrt2}2)^5}{1-frac{sqrt2}2}=-16cdotdfrac{1-frac{4sqrt2}{32}}{frac22-frac{sqrt2}2}=-16cdotdfrac{1-frac{sqrt2}{8}}{frac{2-sqrt2}2}=\\=-16cdotfrac{8-sqrt2}{8}cdotfrac{2}{2-sqrt2}=-4cdotfrac{8-sqrt2}{2-sqrt2}=-4cdotfrac{(8-sqrt2)(2+sqrt2)}{2^2-(sqrt2)^2}=\\=-4cdotfrac{16+8sqrt2-2sqrt2-2}{4-2}=-4cdotfrac{14+6sqrt2}{2}=-4(7+3sqrt2)=-28-12sqrt2[/latex]
[latex]S_{5_2}=-16cdotdfrac{1-(-frac{sqrt2}2)^5}{1-(-frac{sqrt2}2)}=-16cdotdfrac{1+frac{4sqrt2}{32}}{frac22+frac{sqrt2}2}=-16cdotdfrac{1+frac{sqrt2}{8}}{frac{2+sqrt2}2}=\\=-16cdotfrac{8+sqrt2}{8}cdotfrac{2}{2+sqrt2}=-4cdotfrac{8+sqrt2}{2+sqrt2}=-4cdotfrac{(8+sqrt2)(2-sqrt2)}{2^2-(sqrt2)^2}=\\=-4cdotfrac{16-8sqrt2+2sqrt2-2}{4-2}=-4cdotfrac{14-6sqrt2}{2}=-4(7-3sqrt2)=12sqrt2-28[/latex]
Zad. 5.
[latex]a_5=2\a_{100}=97\a_1=?\r=?[/latex]
n-ty wyraz ciągu arytmetycznego to: [latex]a_n=a_1+(n-1)r[/latex]
{r - różnica ciągu arytmetycznego}
Czyli:
[latex]a_5=a_1+(5-1)r=a_1+4r \a_{100}=a_1+(100-1)r=a_1+99r\\ a_{100}-a_5=a_1+99r-(a_1+4r)=a_1+99r-a_1-4r=95r\a_{100}-a_5=97-2=95\\95r=95qquad/:95\underline{ r=1 }\\ 2=a_1+4cdot1\a_1=2-4\underline{ a_1=2 }[/latex]
