Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadań z załącznika oraz wytłumaczenie;>

8. Jako, że w zadaniu pominięte są opory ruchu, to przyjmujemy, że zostaje zachowana zasada zachowania energii (energia całkowita wagonika pozostaje stała i nie zmienia się w funkcji czasu). Za wysokość zerową (h₁=0) przyjmijmy wysokość najniższego punktu pętli. Aby wagonik mógł pokonać bezpiecznie pętlę, to musi on minąć najwyższy punkt pętli (który znajduje się na wysokości h₂ równej średnicy pętli, która wynosi 2R - h₂=2R), czyli działająca na niego siła odśrodkowa - jako że mamy do czynienia z ruchem po okręgu musi przynajmniej równoważyć działającą na wagonik siłę grawitacji (lub być od niej większa). Zakładamy, że początkowa prędkość wagonika wynosi 0, a co za tym idzie w początkowej fazie nie ma on energii kinetycznej, co oznacza, że początkowa energia potencjalna wagonika jest równa energii całkowitej. Punkt początkowy oznaczmy jako 0, a najwyższy punkt pętli jako 2. [latex]E_c=const=E_{p}+E_{k}\E_{c}=E_{p0}+E_{k0} \E_k_0=0Jimplies E_{c}=E_{p0}=mgh_0\E_{c}=E_{p2}+E_{k2}=mgh_2+frac{m{v_2}^2}{2} \h_2=2Rimplies E_c=mgcdot2R+frac{m{v_2}^2}{2} [/latex] Warunek przejścia wagonika przez punkt 2: [latex]F_g=F_d\mg=frac{m{v_2}^2}{R}implies g=frac{{v_2}^2}{R}implies {v_2}^2=gRimplies v_2=[/latex] Otrzymujemy więc: [latex]E_c=mgh_0=mgcdot2R+frac{m{v_2}^2}{2}\gh_0=gcdot2R+frac{{v_2}^2}{2}\gh_0=gcdot2R+frac{(sqrt{gR})^2}{2}\gh_0=gcdot2R+frac{gR}{2}\h_0=2R+frac{R}{2}=2R+0,5R\h_0=2,5R[/latex] 9. Zadanie rozpocznijmy od wyznaczenia prędkości połączonego układu klocka i pocisku (wykorzystamy przy tym zasadę zachowania pędu - zakładamy, że początkowa prędkość pocisku wynosi v₁, jego masa wynosi m, początkowa prędkość klocka v₂ wynosi 0, a jego masa wynosi M, prędkość początkową połączonego już układu klocka i pocisku oznaczmy jako v₀). Z zasady zachowania pędu:  m·v₁+M·v₂=(m+M)·v₀ a jako że v₂=0, to: m·v₁=(m+M)·v₀ [latex]v_0= frac{mcdot v_1}{m+M}[/latex]. Jako, że w pierwszym przypadku, w którym możemy zaniedbać działającą na klocek siłę tarcia, możemy skorzystać z zasady zachowania energii - energia całkowita jest stała i nie zmienia się ona w funkcji czasu. Za wysokość zerową przyjmujemy wysokość u podnóża równi. Obierzmy dwa punkty - 0, w którym układ znajduje się u podnóża równi (układ ma wtedy energię kinetyczną, ponieważ ma nadaną prędkość, ale nie ma energii potencjalnej - jako że się znajduje na zerowej wysokości - energia całkowita układu w tym punkcie równa jest więc energii kinetycznej układu) i 3, w którym klocek zatrzymuje się na równi na wysokości h (klocek ma wtedy energię potencjalną, ale nie ma energii kinetycznej - jako że jego prędkość wynosi 0 - energia całkowita układu w tym punkcie równa jest więc energii potencjalnej układu). [latex]E_c=const=E_{k0}=E{p_3}\frac{mcdot{v_0}^2}{2}=mghimpliesfrac{{v_0}^2}{2}=gh\h=frac{{v_0}^2}{2cdot g}=frac{{(frac{mcdot v_1}{m+M})}^2}{2cdot g}=frac{m^2cdot{v_1}^2}{2cdot gcdot(m+M)^2}\h=frac{m^2cdot{v_1}^2}{2cdot gcdot(m+M)^2}[/latex] Rozważmy teraz przypadek, w którym działająca na układ siła tarcia nie zostaje pominięta - nie możemy więc skorzystać z zasady zachowania energii, jako że energia całkowita układu zmienia się w funkcji czasu. Na klocek działają dwie siły wpływające na ruch klocka, działające zgodnie z kierunkiem ruchu - siła zsuwająca, będąca siłą składową siły ciężkości i siła tarcia. (siły: nacisku (druga składowa siły ciężkości) i siła reakcji podłoża się równoważą - nie mają więc wpływu na ruch). Jako że siły tarcia i zsuwająca mają ten sam zwrot i kierunek, to wypadkowa siła działająca na to ciało będzie sumą tych sił. [latex]overrightarrow{F_W}=overrightarrow{T}+overrightarrow{F_Z}\F_W=mucdot F_N+F_Z\F_W=mucdot Qcdot cosalpha+Qcdot sinalpha\F_W=Q(mucdot cosalpha+sinalpha)\F_W=(m+M)cdot gcdot(mucdot cosalpha+sinalpha)[/latex] Z 2. zasady dynamiki Newtona wynika, że gdy działająca na ciało siła wypadkowa jest różna od 0, to ciało porusza się z przyśpieszeniem lub opóźnieniem równym: [latex]a= frac{F_w}{m}[/latex] W przypadku naszego zadania, działająca na układ siła wypadkowa jest przeciwna do kierunku ruchu (wektora prędkości ciała) - przyspieszenie układu będzie więc ujemne (będzie to ruch jednostajnie opóźniony), a opóźnienie wyniesie: [latex]a=frac{(m+M)cdot gcdot(mucdot cosalpha+sinalpha)}{m+M}=gcdot(mucdot cosalpha+sinalpha)[/latex] Wyznaczmy teraz drogę l jaką przebędzie układ od punktu 0 do punktu 3 (ze wzoru na droge w ruchu jednostajnie opóźnionym): [latex]s=v_0cdot t-frac{at^2}{2}=frac{mcdot v_1}{m+M}cdot t-frac{gcdot(mucdot cosalpha+sinalpha)cdot t^2}{2}[/latex] Wyznaczmy teraz czas t, w chwili zatrzymania się klocka (układ znajduje się w punkcie 3, zakładając że w chwili t=0 klocek układ znajdował się w punkcie 0): [latex]a= frac{v}{t} implies t=frac{v}{a}=t=frac{v_0}{gcdot(mucdot cosalpha+sinalpha)}= frac{frac{mcdot v_1}{m+M}}{gcdot(mucdot cosalpha+sinalpha)}=\=frac{mcdot v_1}{(m+M)cdot gcdot(mucdot cosalpha+sinalpha)}[/latex] Wyznaczmy teraz drogę l jaką przebył klocek od punktu 0 do punktu 3: [latex]l=\=frac{mcdot v_1}{m+M}cdotfrac{mcdot v_1}{(m+M)cdot gcdot(mucdot cosalpha+sinalpha)}-frac{gcdot(mucdot cosalpha+sinalpha)cdot (frac{mcdot v_1}{(m+M)cdot gcdot(mucdot cosalpha+sinalpha)})^2}{2}=\=frac{m^2cdot{v_1}^2}{(m+M)^2cdot gcdot(mucdot cosalpha+sinalpha)}-frac{gcdot(mucdot cosalpha+sinalpha)cdot m^2cdot{v_1}^2}{2cdot(m+M)^2cdot g^2cdot(mucdot cosalpha+sinalpha)^2}=[/latex] [latex]=frac{m^2cdot{v_1}^2}{(m+M)^2cdot gcdot(mucdot cosalpha+sinalpha)}-frac{m^2cdot{v_1}^2}{2cdot(m+M)^2cdot gcdot(mucdot cosalpha+sinalpha)}=\=frac{m^2cdot{v_1}^2}{2cdot(m+M)^2cdot gcdot(mucdot cosalpha+sinalpha)}[/latex] Z zależności między funkcjami trygonometrycznymi: [latex]frac{h}{l} =sinalpha\h=lcdot sinalpha=frac{m^2cdot{v_1}^2}{2cdot(m+M)^2cdot gcdot(mucdot cosalpha+sinalpha)}cdot sinalpha=frac{m^2cdot{v_1}^2cdot sinalpha}{2cdot(m+M)^2cdot gcdot(mucdot cosalpha+sinalpha)}\h=frac{m^2cdot{v_1}^2cdot sinalpha}{2cdot(m+M)^2cdot gcdot(mucdot cosalpha+sinalpha)}[/latex]