Rozwiąż zadanie: Oblicz granicę ciągu? oraz zadanie numer 2

[latex]1)\ limlimits_{x o 1}dfrac{x^2+x-2}{x-1}=limlimits_{x o 1}dfrac{(x-1)(x+2)}{x-1}=limlimits_{x o 1}x+2=oxed{3}[/latex] Skorzystamy z faktu mówiącego iż  [latex]oxed{limlimits_{x o 0}dfrac{sin(alpha x)}{eta x}=dfrac{alpha}{eta};eta ot=0}[/latex] czyli dla [latex]alpha=eta[/latex] otrzymujemy: [latex]oxed{limlimits_{x o 0}dfrac{sin(alpha x)}{alpha x}=dfrac{alpha}{alpha}=1;alpha ot=0}[/latex] Wobec tego: [latex]2\ limlimits_{x o 0}dfrac{sin(3x)}{sin(9x)}=limlimits_{x o 0}dfrac{sin(3x)}{3x}cdot dfrac{3x}{9x}cdot dfrac{9x}{sin(9x)}=\ =limlimits_{x o 0}dfrac{sin(3x)}{3x}cdot dfrac{1}{dfrac{sin(9x)}{9x}}cdot dfrac{3}{9}=1cdot 1cdot dfrac{1}{3}=dfrac{1}{3}[/latex] Asymptoty W tym zadaniu mamy 2 wyjścia: 1. Zauważyć, że funkcja dana wzorem [latex]f(x)=dfrac{4x-2}{x-3}[/latex] jest funkcją homograficzną, zatem ma asymptotę pionową [latex]x=3[/latex], ponieważ [latex]D=mathbb{R}setminus {3}[/latex] oraz asymptotę poziomą [latex]y=4[/latex], ponieważ [latex]f(D)=mathbb{R}setminus {4}.[/latex] 2. Obliczyć je zgodnie z definicją: [latex]limlimits_{x o 3^-}f(x)=limlimits_{x o 3^-}dfrac{4x-2}{x-3}=left[dfrac{10}{0^-} ight]=-infty\ limlimits_{x o 3^+}f(x)=limlimits_{x o 3^+}dfrac{4x-2}{x-3}=left[dfrac{10}{0^+} ight]=infty[/latex] Wobec tego prosta dana równaniem [latex]x=3[/latex] jest asymptotą pionową wykresu funkcji [latex]f.[/latex] [latex]limlimits_{x o -infty}dfrac{f(x)}{x}=limlimits_{x o -infty}dfrac{dfrac{4x-2}{x-3}}{x}=limlimits_{x o -infty}dfrac{4x-2}{x^2-3x}=0\ limlimits_{x o -infty}f(x)=limlimits_{x o -infty}dfrac{4x-2}{x-3}=4\ limlimits_{x o infty}dfrac{f(x)}{x}=limlimits_{x o infty}dfrac{dfrac{4x-2}{x-3}}{x}=limlimits_{x o infty}dfrac{4x-2}{x^2-3x}=0\ limlimits_{x o infty}f(x)=limlimits_{x o infty}dfrac{4x-2}{x-3}=4 [/latex] Wobec tego prosta dana równaniem [latex]y=4[/latex] jest asymptotą poziomą wykresu funkcji [latex]f.[/latex]