[latex]m=2cdot10^3kg \ \ R_z=6,37cdot10^6m \ \ M_z=6cdot10^{24}kg \ \ T_z=24h=24cdot3600s=8,64cdot10^4s \ \ h=300km=0,3cdot10^6m[/latex] Silnik, musi rozpędzić rakietę do pewnej prędkości, by mogła się ona utrzymać na danej orbicie. Rakieta już na starcie posiada pewną prędkość, związaną z ruchem obrotowym Ziemi. Praca wykonana przez silnik, zostanie też zużyta na rzecz energii potencjalnej, jaką uzyska rakieta. 1. Prędkość rakiety na powierzchni Ziemi: [latex]v_z= frac{2pi R_z}{T_z} [/latex] [latex]v_z= frac{2cdot3,14cdot6,37cdot10^6m}{8,64cdot10^4s} =0,463cdot10^3 frac{m}{s}[/latex] 2. Prędkość jaką musi posiadać rakieta na orbicie by się na niej utrzymać: Siła grawitacji, pełni rolę siły dośrodkowej: [latex]F_d=F_g \ \ frac{mv_0^2}{R_z+h} = frac{GMm}{(R_z+h)^2} \ \ v_0= sqrt{ frac{GM}{R_z+h} } \ \ \ v_0= sqrt{ frac{6,67cdot10^{-11} frac{Nm^2}{kg^2} cdot6cdot10^{24}kg}{6,67cdot10^6m} } =sqrt{60cdot10^6 frac{m^2}{s^2} } =7,75cdot10^3 frac{m}{s}[/latex] 3. Różnica energii kinetycznej, czyli praca którą musi wykonać silnik by rozpędzić rakietę z prędkości vz do v0: [latex]W_k=E_{k0}-E_{kz}= frac{1}{2} m(v_0^2-v_z^2) \ \ \ W_k= frac{1}{2} cdot2cdot10^{3}kgcdot(60,06cdot10^6 frac{m^2}{s^2} -0,21cdot10^6 frac{m^2}{s^2} ) \ \ W_k=10^{3}kgcdot59,85cdot10^6 frac{m^2}{s^2} =59,85cdot10^9J[/latex] 4. Różnica energii potencjalnej, czyli praca jaką musi wykonać silnik, by wznieść rakietę na orbitę: [latex]E_p=- frac{GMm}{r} \ \ W_p=E_{p0}-E_{pz}=- frac{GMm}{R_z+h} - (-frac{GMm}{R_z} )=GMm( frac{1}{R_z} - frac{1}{R_z+h} ) \ \ W_p= frac{GMmh}{R_z(R_z+h)}[/latex] Trochę ułatwimy sobie obliczenia. W podpunkcie 2, obliczyliśmy wartość wyrażenia GM/(R+h). Można więc teraz z tego skorzystać. [latex]W_p= frac{GM}{R_z+h} cdot frac{mh}{R_z} \ \ W_p=60cdot10^6 frac{m^2}{s^2} cdot frac{2cdot10^3kgcdot0,3cdot10^6m}{6,37cdot10^6m} =5,65cdot10^{9}J[/latex] 5. Całkowita praca jaką musi wykonać silnik: [latex]W=W_k+W_p \ \ W=59,85cdot10^9J+5,65cdot10^9J=65,5cdot10^9J=65,5 GJ[/latex]
