By nie wydłużać dowodu do absurdalnych rozmiarów musimy coś założyć. 1) Znamy wzory na sumę [latex]i[/latex]-tych potęg dla [latex]iin left{1,2,3,4,5,6,7,8 ight}[/latex] czyli znamy funkcję postaci w jawnej formie : [latex]f_i(n)=sum_{k=1}^nk^i[/latex] np dla [latex]i=1[/latex] dostajemy sumę ciągu arytmetycznego itd. wzory te łatwo wyprowadzić rekurencyjnie metodą zaburzeń lecz tego robić nie będę. 2) symbol Newtona [latex]left(egin{array}{c}n\ kend{array} ight)=frac{n!}{k!(n-k)!}=frac{n(n-1)(n-2)cdot...cdot(n-k+1)}{k!}[/latex] I to właśnie 2 równość będzie przydatna można ją łatwo dowieść zauważając że : [latex](n-k)!= frac{n!}{n(n-1)cdot...cdot(n-k+1)} [/latex] Z takim przygotowaniem możemy już zabierać się za zasadniczą część problemu. Zapiszmy go w mniejszych częściach którymi zajmiemy się osobno. niech : [latex]frac{8left(egin{array}{c}7\ 7end{array} ight)+9left(egin{array}{c}8\ 7end{array} ight)+...+nleft(egin{array}{c}n-1\ 7end{array} ight)}{left(egin{array}{c}n\ 8end{array} ight)}=frac{sum_{k=8}^nkleft(egin{array}{c}k-1\ 7end{array} ight)}{left(egin{array}{c}n\ 8end{array} ight)}=frac{L}{M}[/latex] Zgodnie z wcześniej przytoczonymi wzorem na symbol Newtona można zapisać że: [latex]L=sum_{k=8}^nkleft(egin{array}{c}k-1\ 7end{array} ight)=frac{1}{7!}sum_{k=8}^nk(k-1)(k-2)...(k-6)(k-7)[/latex] Taką sumę możemy policzyć znając wzory [latex]i[/latex]-tych potęg i ty właśnie się to przyda. Wielomian pod znakiem sumy możemy zamienić z postaci iloczynowej na ogólną i rozdzielić to na sumę sum. [latex]k(k-1)(k-2)(k-3)(k-4)(k-5)(k-6)(k-7)= \ \ -5040 k + 13068 k^2 - 13132 k^3 + 6769 k^4 - 1960 k^5 + 322 k^6 - 28 k^7 + k^8[/latex] i do każdej z tych sum stosujemy wzór na sumę odpowiedniej potęgi. co daje [latex]L=sum_{k=8}^nkleft(egin{array}{c}k-1\ 7end{array} ight)=\ \ frac{1}{7!}(-560 n + 892n^2 -frac{64n^3}{9}-707n^4 +frac{1603}{3}n^5-182n^6 +frac{98n^7}{3} - 3 n^8+frac{n^9}{9})[/latex] Badając ten wielomian okazuje się ze daje się on zapisać w bardzo ładnej formie. I choć wydać by się mogło że sprawdzanie tego jest nienaturalne to nie do prawda bo pamiętajmy co mamy udowodnić i jak to wygląda wstawienie takich miejsc zerowych jest rozsądne. Po uproszczeniu [latex]L=frac{1}{9cdot7!}(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)[/latex] To teraz zajmijmy się mianownikiem. Tu też skorzystajmy z definicji dwumianu Newtona jak podałem na samym początku [latex]M=left(egin{array}{c}n\ 8end{array} ight)=frac{n(n-1)...(n-7)}{8!}[/latex] wtedy [latex] frac{L}{M}=frac{8!}{9cdot7!}frac{(n+1)n(n-1)(n-2)...(n-7)}{n(n-1)(n-2)...(n-7)} [/latex] co po skróceniu ułamków i wymnożeniu liczb daje tezę : [latex]frac{L}{M}=frac{8}{9}(n+1)[/latex] [latex]lacksquare[/latex] Nie wiem jak by to można było zrobić sprytnie i szybko ale przy chwili cierpliwości można i tak.
