Na pionowo wiszącej sprężynie zawieszono ciężarek, co spowodowało wydłużenie sprężyny o l. Ciężarek ten wprawiono w drgania, odciągając go w dół i puszczając. Jaką wartość powinien mieć współczynnik tłumienia β, aby: a) Drgania ustały po czasie t(pr

Drgania tłumione (przy tłumieniu proporcjonalnym do prędkości) zdefiniowane są równaniem różniczkowym: d²x/dt² + 2·β·dx/dt + ωo²·x = 0 gdzie ωo to częstość drgań własnych nietłumionych ωo = √(k/m), a  β to współczynnik tłumienia. a) Amplituda takich drgań (jeśli są drganiami okresowymi) zmienia się w czasie zgodnie z równaniem:    A = Ao·e^(-β·t) A = 0.01·Ao                Ao·e^(-β·t) = 0.01·Ao              e^(-β·t) = 0.01 lne^(-β·t) = ln0.01 -β·t = ln0.01 -β·t = ln10⁻² -β·t = -2·ln10       --->        β = (2/t)·ln10 = 4.605/t b)  logarytmiczny dekrement tłumienia  Λ = β·T = β·2·π/√(ωo² - β²) = 6 β²·4·π²/(ωo² - β²) = 36 β²·π² = 9·(ωo² - β²) β²·(π² + 9) = 9·ωo²        --->      β = 3·ωo/√(π² + 9)   gdzie  ωo = √(k/m) = √((m·g/L)/m) = √(g/L)