Pierścień o promieniu wewnętrznym r i zewnętrznym R wycięto z blachy o gęstości powierzchniowej σ. Proszę policzyć moment bezwładności tego pierścienia względem osi przechodzącej przez jego środek i prostopadłej do niego.

Dzielimy pierścień na nieskończenie wiele pierścieni o szerokości dx. Pole takiego pierścienia wynosi: [latex]dP=2pi xdx[/latex] Jego masa ma więc wartość: [latex]dm=2sigmapi xdx[/latex] Składamy te pierścienie do kupy za pomocą całki. Definicja momentu bezwładności: [latex]I=intlimits_Vdmcdot r^2dr \ \ \ I=intlimits_r^R2sigmapi xcdot x^2dx=2sigmapiintlimits_r^Rx^3dx=2sigmapiig( frac{1}{4} R^4- frac{1}{4} r^4ig)= frac{1}{2} sigmapiig(R^2-r^4ig)[/latex] Pozaprogramowo, można to jeszcze sprowadzić do wzoru z masą: [latex]sigma= frac{M}{V} = frac{M}{pi(R^2-r^2)} \ \ I= frac{1}{2} pi(R^4-r^4)cdot frac{M}{pi(R^2-r^2)} = frac{1}{2} M(R^2-r^2)[/latex]