Wykaż, że liczba 101010101 jest złożona

[latex]101010101=41cdot 271cdot 9091[/latex]

Na początek zapiszmy naszą liczbę jako sumę: [latex]101010101=100000000+1000000+10000+100+1=\\=10^8+10^6+10^4+10^2+10^0[/latex] Widać, że suma ta jest sumą pięciu wyrazów ciągu geometrycznego w którym pierwszy wyraz a₁ = 1 zaś iloraz q = 10². Korzystając ze wzoru na taką sumę dostaniemy: [latex]101010101=dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}=dfrac{1ig(1-(10^2)^5ig)}{1-10^2}=dfrac{1-10^{10}}{1-10^2}=dfrac{10^{10}-1}{10^2-1}[/latex] Widzimy, że możemy teraz skorzystać ze wzoru na różnicę kwadratów i rozłożyć licznik i mianownik na czynniki. Otrzymamy: [latex]101010101=dfrac{10^{10}-1}{10^2-1}=dfrac{10^{10}-1^2}{10^2-1^2}=dfrac{(10^5-1)(10^5+1)}{(10-1)(10+1)}=\\\=dfrac{(10^5-1)(10^5+1)}{9cdot11}[/latex] Na koniec skorzystamy ze znanych własności podzielności liczb. Pierwszy czynnik 10⁵ - 1 = 99999 jest oczywiście podzielny przez 9, bo suma jego cyfr dzieli się przez 9. Stąd liczba [latex]dfrac{10^5-1}{9}[/latex] jest naturalna. Teraz tylko wystarczy, żeby drugi czynnik był podzielny przez 11. Ta własność jest trochę mniej znana, ale liczba jest podzielna przez 11 jeśli różnica sumy liczb stojących na miejscach parzystych i sumy liczb stojących na miejscach nieparzystych w danej liczbie jest podzielna przez 11. Drugi czynnik jest równy 10⁵ + 1 = 100001 więc suma liczb stojących na miejscach parzystych to 0 + 0 + 1 = 1 a na miejscach nieparzystych 1 + 0 + 0 = 1. Różnica tych sum to 1 - 1 = 0 a zero oczywiście dzieli się przez 11, więc i drugi czynnik dzieli się przez 11. Stąd wnioskujemy, że liczba [latex]dfrac{10^5+1}{11}[/latex] jest naturalna. Ostatecznie: [latex]101010101=dfrac{10^5-1}{9}cdotdfrac{10^5+1}{11}[/latex] czyli 101010101 jest złożona.